第22章 模型专题 相似三角形几种常见解题模型-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

第２２章　相似形 １５１　 0  0 模型专题 模型一　A字模型及其变形 A B C D E ① 　　 A B C D E ② (１)如 图 ①,DE ∥BC ⇔ △ADE ∽ △ABC⇔ AD AB＝ AE AC＝ DE BC． (２)如图②,∠ADE＝∠B⇔△ADE∽ △ABC⇔ AD AB＝ AE AC＝ DE BC． C D FB A E 【例１】如图,已知AB, CD,EF 都与 BD 垂 直,垂足分别是B,D, F,且AB＝１,CD＝３, 求EF 的长． 思路分析 知条件　AB,CD,EF 都与BD 垂直, AB＝１,CD＝３． 套模型　A字模型． 解 因为AB,CD,EF 都与BD 垂直, 所以AB∥EF∥CD, 所以△ABE∽△DCE,△BEF∽△BCD, 所以 BE CE＝ AB CD＝ １ ３ , 所以 EF CD＝ BE BC＝ BE BE＋CE＝ １ ４． 所以EF＝ １ ４CD＝ ３ ４． 模型二　８字模型及其变形 CD O A B ① 　　 A D B O C ② (１)如图①,AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ AB CD＝ OA OC＝ OB OD． (２)如图②,∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ AB DC＝ OA OD＝ OB OC． C O B D A【例２】如图,已知线段 AB 与CD 交于点O, OA＝４,OD＝３,OC＝ ８,OB＝６,求证:△AOC∽△DOB． 思路分析 知条件　线段 AB 与CD 交于点O, OA ＝４,OD ＝３,OC ＝８, OB＝６． 套模型　８字模型． 证明 因 为 OA ＝４,OD ＝３,OC ＝８, OB＝６, 数学　九年级　上册 １５２　 0  0 所以 OD OA＝ OB OC＝ ３ ４． 又因为∠AOC＝∠DOB, 所以△AOC∽△DOB． 模型三　K字模型 K字模型也叫一线三等角模型,如图① 所示,当α＝９０°时,一线三等角就变成了 一线三直角模型,如图②所示． ααα β β A B C D E ① 　 A B C D E β β ② 在图①和图②中,均有△ABC∽△CDE, 则 AB CD＝ BC DE＝ AC CE． A D F B E C 【例３】如图,在△ABC 中, AB＝AC,点E 在边BC 上 移动(点E 不与点B,C 重 合),满足∠DEF＝∠B,且 点D,F 分别在边AB,AC 上．求证:△BDE∽△CEF． 思路分析 知条件　AB＝AC,∠DEF＝∠B． 套模型　K字模型． 证明 因为AB＝AC, 所以∠B＝∠C． 因为∠BDE＝１８０°－∠B－∠DEB, ∠CEF ＝１８０°－ ∠DEF － ∠DEB, ∠DEF＝∠B, 所以∠BDE＝∠CEF, 所以△BDE∽△CEF． 模型四　手拉手模型 手拉手模型的常见图形如图所示． A B D O C A B C D E O 条件:CD∥AB,将△OCD 旋转至右图 位置; 结论:右图中,△OCD∽△OAB⇔△OAC∽ △OBD,且延长AC 交BD 于点E,必有 ∠BEC＝∠BOA． 【例４】如图,点B,D,E 在一条直线上, BE 交AC于点F, AB AD＝ AC AE ,且∠BAD＝ ∠CAE． (１)求证:△ABC∽△ADE; (２)求证:△AEF∽△BCF． B D F E A C 思路分析 知 条 件 　 AB AD ＝ AC AE ,且 ∠BAD ＝ ∠CAE． 套模型　手拉手模型． 证明 (１)因为∠BAD＝∠CAE, 所以∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD, 即∠BAC＝∠DAE． 又因为 AB AD＝ AC AE , 所以△ABC∽△ADE． 第２２章　相似形 １５３　 0  0 (２)因为△ABC∽△ADE, 所以∠C＝∠E． 又因为∠AFE＝∠BFC, 所以△AEF∽△BCF． 模型五　母子型模型 (１)母子型的基本图形 如图,已知∠ACD＝∠ABC, 结论:△ACD∽△ABC,AC２＝AD􀅰AB． B C A D (２)母子型的特殊图形 如图,已知△ABC 是直角三角形,CD 为 斜边AB 上的高． A D B C 则△ABC∽△ACD,AC２＝AD􀅰AB, △ABC∽△CBD,BC２＝BD􀅰AB, △ACD∽△CBD,CD２＝AD􀅰BD． 【例５】如图,BD 是 Rt△ABC 斜边AC 上的高,DE⊥AB 于点E,则图中与 △ABC 相似的三角形有　　　　个． A D C B E 思路分析 知条件　BD 是Rt△ABC 斜边AC 上 的高,DE⊥AB． 套模型　母子型模型． 解析 因为BD 是Rt△ABC斜边AC上的高, 所以∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝９０°, 所以∠A＋∠C＝９０°,∠A＋∠ABD＝ ９０°,∠C＋∠CBD