第15章 轴对称图形与等腰三角形 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

第１５章　轴对称图形与等腰三角形 ２２１　 0  0 考前复习笔记 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案 ①D　②F　③B　④G　⑤A　⑥E　⑦F　⑧B　⑨I　⑩C　􀃊􀁉􀁓E　􀃊􀁉􀁔H 数学　八年级　上册 ２２２　 0  0 专题一　轴对称及轴对称图形 　　轴对称及轴对称图形都是沿一条直 线折叠后直线两旁的图形能完全重合, 但轴对称是指两个图形对称,轴对称图 形是指一个图形,我们可利用其概念予 以判断． 轴对称的性质:对称轴两旁的图形全 等;对应点所连的线段被对称轴垂直平分; 对应线段相等,对应角相等．轴对称的性质 可以用于作图和说明角相等或边相等． 图１５Ｇ１ 【例１】如图１５Ｇ１,点A, B 在直线l同侧,AB＝ ４cm,点C 是点B 关 于直线l的对称点,AC 交直线l于点D,AC＝ ５cm,则△ABD 的 周 长为 (　　) A．５cm 　　　B．６cm C．８cm 　　　D．９cm 解析 因为点B,C 是关于直线l的对称 点,所 以BD＝CD,所 以 △ABD 的 周 长 ＝AB ＋AD＋BD＝AB ＋AD ＋ DC＝AB＋AC＝４＋５＝９(cm)． 答案 D " 若点B,C 关于某条直线对称,则 该直线上的任一点到点B 的距离与到 点C 的距离相等,从而可将三角形的 周长问题转化为已知的线段长的和． 【例２】如图１５Ｇ２,在平面直角坐标系中, A(－１,５),B(－１,０),C(－４,３)． (１)求出△ABC 的面积; (２)在图中作出△ABC 关于y 轴的对 称图形△A１B１C１; (３)写出点A１,B１,C１ 的坐标． 图１５Ｇ２ 思路分析 (１)直接利用三角形的面积公 式求解即可． (２)先找出A,B,C 三点关于y 轴的对 称点,再顺次连接即可． (３)根据平面直角坐标系写出各点坐 标即可． 解 (１)△ABC 的面积＝ １ ２×３×５＝ １５ ２． (２)如图１５Ｇ３所示． 图１５Ｇ３ (３)A１(１,５),B１(１,０),C１(４,３)． 第１５章　轴对称图形与等腰三角形 ２２３　 0  0  　　图形的变换实质是点的变换,熟 悉点的坐标的变换规律是正确解题的 关键． 专题二　线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等,可以利用它进行线段的转 化;到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上,可以利用它来确定各线 段的相等关系,作为推导其他结论的依 据或用来作图,确定位置． 【例３】某市计划在新竣工的长方形广场 的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐 喷泉 M 到广场的两个入口A,B 的距 离相等,且到广场管理处C 的距离等 于A 和B 之间距离的一半,A,B,C 的 位置如图１５Ｇ４所示．请在图上利用尺 规作图法作出音乐喷泉 M 的位置．(要 求:不写已知、求作、作法和结论,保留 作图痕迹) 图１５Ｇ４ 思路分析 先连接 AB,作出线段 AB 的 垂直平分线,再以点C 为圆心, １ ２AB 长为半径画弧交线段AB 的垂直平分 线于一点,则该交点便是所要求作的 喷泉 M 的位置． 解 如图１５Ｇ５所示． 图１５Ｇ５ " 作到两点的距离相等的点的步骤 到两点的距离相等的点在这两点 所确定的线段的垂直平分线上．因此, 需先连接两点得到一条线段,再作这 条线段的垂直平分线． 专题三　等腰三角形的性质与判定 　　该部分内容可以只考查等腰三角 形、等边三角形的边、角的计算以及简单 的判定,也可以与后面将要学的几何知 识结合出比较复杂的综合题．解这类题要 掌握性质、判定定理,明白“等角对等边” “等边对等角”必须要在同一个三角形 内,以及“三线合一”是等腰三角形底边 上的中线、高、顶角的平分线互相重合, 而腰上没有这个特性． 【例４】如图１５Ｇ６,△ABC 是等边三角形, D 是AC 的中点,延长BC 到点E,使 CE＝CD,连接 DE．过点 D 作DF⊥ BE,垂足为F． 求证:BF＝EF． 图１５Ｇ６ 数学　八年级　上册 ２２４　 0  0 思路分析 若要求证BF＝EF,根据“三线 合一”,只要证明△DBE 为等腰三角形即 可,可根据△ABC 为等边三角形求出 ∠DBE 和∠E 的度数,从而得出结论． 证明 因为△ABC 为等边三角形, 所以∠A＝∠ABC＝∠ACB＝６０°． 因为△ABC 为等边三角形,且 D 是 AC 的中点, 所以BD 是∠ABC 的平分线．(三线 合一) 所以∠DBE＝ １ ２∠ABC＝ １ ２×６０°＝３０°． 因为CE＝CD,(已知) 所以∠E＝∠CDE．(等边对等角) 所以∠E＝ １ ２∠ACB＝３０°． (三角形的 外角等于与它不相邻的两个内角的 和) 所以∠DBE＝∠E．(等量代换)