第15章 模型专题 轴对称解题模型-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

数学　八年级　上册 ２１８　 0  0 模型专题 模型一　 “角平分线＋平行线构造等 腰三角形”模型 １．“角平分线＋平行线构造等腰三角形” 是指在一个角的平分线上取一点,通过 作角的一边的平行线与角的另一边形 成的三角形是等腰三角形． ２．解题思路:当题干中出现“角平分线＋ 平行线”时,通常先构造等腰三角形,再 利用等腰三角形的边角关系解决问题． ３．模型类型:如 图 MＧ１,若 ∠１＝ ∠２, AC∥OB,则△OAC 为等腰三角形． C A BO 1 2 图 MＧ１ 【例１】如图 MＧ２,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F,过点 F 作DE∥BC,分别交 AB,AC 于点 D,E．若AB＝５,AC＝４,则△ADE 的 周长是 (　　) CB D EF A 图 MＧ２ A．９　　　B．８　　　C．３　　　D．１０ 思路分析 知条件　∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点F,过点F 作DE∥BC, AB＝５,AC＝４． 套模型　 已 知“角 平 分 线 ＋ 平 行 线” 时,条件中隐含等腰三角形, 利用等腰三角形求解即可． 解析 因为∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点F, 所以∠DBF＝∠CBF,∠ECF＝∠BCF． 因为DE∥BC, 所以∠DFB＝∠CBF,∠BCF＝∠EFC, 所以∠DBF＝∠DFB,∠ECF＝∠EFC, 所以DB＝DF,EF＝EC, 所以△ADE 的周长＝AD＋DE＋AE ＝AD＋DF＋EF＋AE ＝AD＋BD＋EC＋AE ＝AB＋AC＝５＋４＝９． 答案 A 模型二　 “角平分线＋垂线构造等腰 三角形”模型 １．“角平分线＋垂线构造等腰三角形”模 型指的是当一个角的平分线垂直于某 条线段时,通常延长这条线段与角的另 第１５章　轴对称图形与等腰三角形 ２１９　 0  0 一条边构造等腰三角形． ２．模型类型:如图 MＧ３,在△ABC 中,AD 平分 ∠BAC,CD ⊥AD,故可以延长 CD 交AB 于点E,则△ACE 是等腰三 角形． A E D C B 图 MＧ３ 【例２】如图 MＧ４,在△ABC 中,AB＝ AC,∠A＝９０°,BE 是角平分线,CD⊥ BE,交 BE 的延长线于点 D,求证: BE＝２CD． A D E CB 图 MＧ４ 思路分析 知条件　在△ABC 中,AB＝AC,∠A＝ ９０°,BE 是 角 平 分 线,CD ⊥ BE,交BE 的延长线于点D． 套模型　利用“角平分线＋垂线构造 等腰三角形”模型,作辅助线 构造等腰三角形． 证明 如图 MＧ５,延长 BA,CD 相交于 点Q． 因为∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝９０°, 所以 ∠ACQ ＋ ∠Q ＝９０°,∠ABE ＋ ∠Q＝９０°． 所以∠ACQ＝∠ABE． 在△ABE 和△ACQ 中, ∠ABE＝∠ACQ, AB＝AC, ∠BAE＝∠CAQ, ì î í ï ï ï ï 所以△ABE≌△ACQ．(ASA) 所以BE＝CQ． 因为BD 平分∠ABC, 所以∠QBD＝∠CBD． 因为CD⊥BD,即BD⊥CQ, 所以∠BDQ＝∠BDC． 在△BQD 和△BCD 中, ∠QBD＝∠CBD, BD＝BD, ∠BDQ＝∠BDC, ì î í ï ï ï ï 所以△BQD≌△BCD．(ASA) 所以CD＝DQ． 所以BE＝CQ＝２CD． Q A D E CB 图 MＧ５ 模型三　二倍角模型 １．在初中平面几何中,经常会遇到三角形 中一个内角是另一个内角二倍的问题 (本文简称“二倍角”问题),这类问题往 往需要作相应的辅助线．因为等腰三角 形顶角的外角是其任一底角的二倍,因 而构建等腰三角形是破解二倍角问题 的一大妙招． ２．模型类型:常见的有以下几种类型: 已知在△ABC 中,∠ACB＝ １ ２∠ABC． (１)如图 MＧ６①,作∠ABC 的平分线 BD,则可构造等腰三角形BDC; (２)如图 MＧ６②,作∠BCE＝２∠ACB, 数学　八年级　上册 ２２０　 0  0 交BA 的延长线于点E,则可构造等腰 三角形BCE; (３)如图 MＧ６③,延长CB 至点 D,使 BD＝AB,则可构造两个等腰三角形, 分别 是 等 腰 三 角 形 ABD,等 腰 三 角 形ADC; (４)如图 MＧ６④,作∠BCE＝∠ACB, 交AB 的延长线于点E,则可构造等腰 三角形BCE． A B C D ① 　　 E A B C ② A B CD ③ 　　 A B C E ④ 图 MＧ６ 【例３】如图 MＧ７,在△ABC 中,AD 平分 ∠BAC,交BC 于点D,且∠B＝２∠C． 求证:AB＋BD＝AC． DB A C 图 MＧ７ 思路分析 知条件　在△ABC 中,AD 平分∠BAC, 交BC 于点D,且∠B＝２∠C．