第二十八章 锐角三角函数 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十八章　锐角三角函数 １３７　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　九年级　下册 １３８　 模型专题:解直角三角形实际应用的三种基本解题模型 模型一　“母抱子”模型 　　“母抱子”模型是指有公共边,且公 共边在同侧的两个直角三角形,其中一 个三角形包含在另一个三角形中．解答这 类题的关键是构造(或找出)两个直角三 角形的共同高(公共边)． １．模型１:如图①,因为AD＋DC＝AC, 所以AD＝ BC tan∠１－ BC tan∠２ , 所以BC＝ tan∠１􀅰tan∠２ tan∠２－tan∠１×AD． ２．模型２:如图②,因为DC－BC＝BD, 所以BD ＝AC􀅰tan∠２－AC􀅰tan∠１＝ AC􀅰(tan∠２－tan∠１)． 图① 图② 【例１】(湖南湘西州中考)１９８７年为庆祝 湘西自治州成立三十周年,湘西州政 府在花果山公园内修建了一座三层楼 高的“一心阁”民族团结楼阁．如图,芙 蓉学校数学实践活动小组为测量“一 心阁”CH 的高度,在楼前的平地上A 处,观测到楼顶C 处的仰角为３０°,在 平地上B 处观测到楼顶C 处的仰角为 ４５°,并测得 A,B 两处相距２０ m,求 “一心阁”CH 的高度．(结果精确到 ０．１m．参考数据:２≈１．４１,３≈１．７３) 思路分析 知条件　∠AHC＝９０°,∠CBH＝４５°, ∠A＝３０°,AB＝２０m． 套模型　方法１:本题条件符合“母抱 子”模型１,根据“母抱子”模 型 １, 得 CH ＝ AB􀅰tanA􀅰tan∠CBH tan∠CBH－tanA ,代 入数值可求出CH 的值,得出 答案． 方法２:设CH 为x m,证出 BH＝CH＝x m,AH ＝ ３CH＝ ３x m,再由AH－ BH＝AB 列出方程,解方程 即可． 解 方法１:根据题意得∠CBH＝４５°, ∠A＝３０°,AB＝２０m． 代入“母抱子”模型１,得 CH＝ AB􀅰tanA􀅰tan∠CBH tan∠CBH－tanA , 第二十八章　锐角三角函数 １３９　 所 以 CH ＝ ２０tan３０°×tan４５° tan４５°－tan３０° ＝ ２０× ３ ３×１ １－ ３ ３ ＝１０３＋１０≈２７．３(m)． 答:“一心阁”CH 的高度约为２７．３m． 方法 ２:设 CH 为x m ．由 题 意 得 ∠AHC＝９０°,∠CBH ＝４５°,∠A ＝ ３０°,所 以 BH ＝CH ＝x m,AH ＝ ３CH＝ ３x m．因 为 AH －BH ＝ AB,所 以 ３x－x＝２０,解 得 x ＝ １０(３＋１)≈２７．３m． 答:“一心阁”CH 的高度约为２７．３m． 【例２】(湖北襄阳中考)如图,建筑物BC 上有一旗杆AB,从与BC 相距２０m 的D 处 观 测 旗 杆 顶 部 A 的 仰 角 为 ５２°,观测旗杆底部B 的仰角为４５°,求 旗杆AB 的高度(结果精确到０．１m, 参考 数 据:sin５２°≈０．７９,cos５２°≈ ０．６２,tan５２°≈１．２８,２≈１．４１)． 思路分析 知条件　CD ＝２０ m,∠ADC＝５２°, ∠BDC＝４５°． 套模型　方法１:本题条件符合“母抱 子”模型２,由“母抱子”模型２ 得AB＝CD􀅰(tan∠ADC－ tan∠BDC),代 入 数 值 计 算 可得答案． 方法２:先利用锐角三角函数 分 别 求 出 AC,BC,再 根 据 AB＝AC－BC 求得旗杆AB 的高度． 解 方法１:由题意得∠ADC＝５２°, ∠BDC＝４５°,CD＝２０m,由“母抱子” 模型 ２ 得 AB＝CD 􀅰 (tan∠ADC－ tan∠BDC)＝２０×(tan５２°－tan４５°)≈ ２０×(１．２８－１)＝５．６(m)． 答:旗杆AB 的高度约为５．６m． 方法２:在Rt△BCD 中, 因为tan∠BDC＝ BC CD , 所以 BC＝CD 􀅰tan∠BDC ＝２０× tan４５°＝２０(m)． 在Rt△ACD 中, 因为tan∠ADC＝ AC CD , 所以 AC＝CD 􀅰tan ∠ADC＝２０× tan５２°≈２０×１．２８＝２５．６(m), 所以AB＝AC－BC≈２５．６－２０＝５．６(m)． 答:旗杆AB 的高度约为５．６m． 模型二　“背靠背”模型 　　“背靠背”模型是指有公共边,且公 共边在异侧的两个直角三角形(双直角 三角形),其中一个三角形在另一个三角 形的异侧．解答这类题的关键是构造(或 找出)两个直角三角形的公共边(共同 高)．若三角形中有已知角时,则通过在三 数学　九年级　下册 １４０　 角形内作高,构造出两个直角三角形求 解,其中恰当利用公共边是解题的关键． １．模型１:如图①,BC＝BD＋CD＝AD􀅰 ( １ tanα＋