第二十七章 相似 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十七章　相　似 ９３　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　九年级　下册 ９４　 模型专题:相似三角形的五种基本解题模型 模型一　“A”字型 　　“A”字型相似三角形是相似三角形 基础的模型之一,是共边共角的两个三 角形． 　　在“A”字型中,平行线是比较关键 的,有时候题目中不会给出平行线,需要 自己作辅助线． “A”字型相似三角形的基本图形有以下 两种: １．如 图 ①,若 DE ∥BC,则 △ADE ∽ △ABC; ２．如 图 ②,若 ∠AED ＝ ∠ABC,则 △AED∽△ABC; 图① 图② 【例１】如图,在△ABC 中,点D,E 分别 在AB,AC 上,且 AD AB ＝ １ ３． 若 DE∥ BC,则 S△ADE S△ABC ＝ (　　) A． １ ２ B． １ ３ C． １ ４ D． １ ９ 思路分析 知条件　 AD AB＝ １ ３ ,DE∥BC． 套模型　本题条件符合“A”字型,先由 DE ∥BC,判 定 △ADE ∽ △ABC,再 利 用 相 似 三 角 形 的性质解决问题． 解析 因为DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC． 因为 AD AB＝ １ ３ ,所以S△ADE S△ABC ＝ ( AD AB ) ２ ＝ １ ９． 答案 D 【例２】如图,在△ABC 中,点D,E 分别 在 AB,AC 上,且 ∠AED ＝ ∠B, AD＝３,AC＝６,DB＝５,则 AE 的长 度为 (　　) A． ９ ４　　B． ５ ２　　C． １８ ５　　D．４ 第二十七章　相　似 ９５　 思路分析 知条件　∠AED ＝ ∠B,AD ＝３, AC＝６,DB＝５． 套模型　本题条件符合“A”字型,先由 ∠AED＝ ∠B,∠A ＝ ∠A, 判定△ADE∽△ACB,再利 用相似三角形的对应边成比 例,列方程求解． 解析 因为∠AED＝∠B,∠A＝∠A, 所以△ADE∽△ACB,所以 AE AB＝ AD AC , 所以 AE ３＋５＝ ３ ６ ,所以AE＝４． 答案 D 模型二　“X”字型 　　“X”字型是相似三角形的基础模型 之一,是含有对顶角的两个三角形．对顶 角所对的边有的平行,有的不平行．“X” 字型相似三角形,有的也称为“８”字型相 似三角形． “X”字型相似三角形的基本图形有以下 两种: １．如图①,若AB∥CD(或∠B＝∠C), 则△ABO∽△DCO; ２．如 图 ②,若 ∠C ＝ ∠D,则 △ABC ∽ △AED． 图①　　　　　　　图② 【例３】如图,DE ∥BC,且 DE ＞BC, AD＝BC＝４,AB＋DE＝１０,则 AE AC 的 值为　　　　． 思路分析 知条件　DE ∥BC,且 DE ＞BC, AD＝BC＝４,AB＋DE＝１０． 套模型　本题条件符合“X”字型,先由 DE ∥BC,得 出 △ADE ∽ △ABC,得 出 AB 􀅰DE 的 值,进而求得 AB,DE,再由 相似三角形的性质求得答案． 解析 因为DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC, 所以 AD AB＝ DE BC＝ AE AC , 即 ４ AB＝ DE ４ ＝ AE AC , 所以AB􀅰DE＝１６． 又因为AB＋DE＝１０,DE＞BC, 所以AB＝２,DE＝８, 所以 AE AC＝ DE BC＝ ８ ４＝２． 答案２ 【例４】如图,AE,BD 相交于点C,BA⊥ AE 于点A,ED⊥BD 于点D．若AC＝ ４,AB＝３,CD＝２,则CE＝　　　　． 数学　九年级　下册 ９６　 思路分析 知条件　BA⊥AE,ED⊥BD,AC＝ ４,AB＝３,CD＝２． 套模型　本题条件符合“X”字型,先由 BA ⊥AE,ED ⊥BD,得 出 ∠A＝∠D ＝９０°,进 而 得 出 △ABC∽△DEC,再根据相 似三角形的对应边成比例即 可求得CE 的长． 解析 因为BA⊥AE,ED⊥BD, 所以∠A＝∠D＝９０°． 又因为∠ACB＝∠DCE, 所以△ABC∽△DEC, 所以 CB CE＝ CA CD． 在 Rt△ABC 中,AC＝４,AB＝３, 所以BC＝５, 所以 ５ CE＝ ４ ２ ,所以CE＝ ５ ２． 答案 ５ ２ 【例５】如图,四边形ABCD 是平行四边 形,E 是AB 延长线上的一点,DE 交 BC 于 点 F,若 BE ∶AB ＝２∶３, S△BEF＝４,求S△CDF的值． 思路分析 知条件　四边形ABCD 是平行四边形, BE∶AB＝２∶３,S△BEF＝４． 套模型　本题条件符合“X”字型,先由 平行四边形的性质,得AE∥ DC, 从 而 得 △BEF ∽ △CDF,再 由 相 似 三 角 形 的 面积之比等于相似比的平方 求解． 解 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AE∥DC,AB＝CD, 所以△BEF∽△C