第二十六章 反比例函数 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十六章　反比例函数 ３５　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 模型专题:反比例函数解题模型 模型一　 反比例函数比例系数k的 几何意义———面积模型 　　反比例函数的比例系数k 的几何意 义:k 等于反比例函数图象上任意一点 向两坐标轴所作垂线段与坐标轴围成的 矩形的面积．在反比例函数的图象中,涉 及三角形或矩形面积时,常用比例系数k 的几何意义求解． １．单k模型 (１)如 图 ①,四 边 形 ACOB 是 矩 形, A(a,b)是 双 曲 线 y＝ k x 上 一 点,则 S矩形ACOB＝ab＝ k ． (２)如图②,A(a,b)是双曲线y ＝ k x 上 一点,AB⊥x轴,垂足是B,则S△OAB＝ １ ２ab＝ １ ２ k ． 数学　九年级　下册 ３６　 图① 图② 图③ (３)如图③,A(a,b)是双曲线y ＝ k x 上 一点,AB⊥x 轴,垂足是B,AO 的延 长线交双曲线另一分支于点A′(－a, －b),则S△AA′B＝ k ． (４)如图④,A(a,b)是双曲线y ＝ k x 上 一点,AB⊥x轴,垂足是B,AO 的延长 线 交 双 曲 线 的 另 一 分 支 于 点 A′(－a,－b),A′B′⊥x 轴,垂足是B′, 则S▱ABA′B′＝２S△AA′B＝２k ． 图④ 图⑤ (５)如图⑤,A(a,b)是双曲线y ＝ k x 上 一点,AO 的延长线交双曲线的另一分 支于点A′(－a,－b),AB⊥x 轴(或 AB∥y 轴),A′B⊥y 轴(或 A′B∥x 轴),AB 与 A′B 相 交 于 点 B,则 S△ABA′＝２ k ． ２．双k模型 (１)如图⑥,四边形ABCD 是矩形,B 是 双曲线y＝ k１ x 上一点,A 是双曲线y＝ k２ x 上一点,AB∥x 轴,BA 的延长线交y 轴 于点E,则S矩形ABCD＝ k１－k２ ． 图⑥ 图⑦ (２)如图⑦,△AOB 的顶点A 在双曲线 y＝ k１ x 上,顶点 B 在 双 曲 线y ＝ k２ x 上, AB∥y轴,AB 的延长线交x 轴于点C, 则S△AOB＝ １ ２ k１－k２ ． (３)如图⑧,△ACB 的顶点A 在双曲线 y＝ k１ x 上,顶点 B 在 双 曲 线y ＝ k２ x 上, AB∥x 轴, 则 S△ABC ＝ S△AOB ＝ １ ２( k１ ＋ k２ ) ． 图⑧ 图⑨ (４)如图⑨,四边形OAPB 的顶点A,B 都在双曲线y＝ k２ x 上,顶点P 在双曲线 第二十六章　反比例函数 ３７　 y＝ k１ x 上,PD ∥x 轴,PC ∥y 轴,则 S四边形OBPA＝ k１－k２ ． 【例１】如图,A,C 分别是正比例函数 y＝x的图象与反比例函数y＝ ４ x 的图 象的交点．过点 A 作AD⊥x 轴于点 D,过点C 作CB⊥x 轴于点B,则四边 形ABCD 的面积为　　　　． 思路分析 知条件　A,C 分别是y＝x 与y＝ ４ x 的 图 象 的 交 点,AD ⊥x 轴, CB⊥x 轴． 套模型　利 用 模 型 １(４)的 结 论 S▱ABA′B′ ＝２S△AA′B ＝２ k 求解． 解析 因为A,C 是两函数图象的交点,所 以A,C 两点关于原点对称．因为AD⊥ x 轴,CB ⊥x 轴,所 以 OA ＝OC, OB＝OD,所 以 S△AOB ＝ S△BOC ＝ S△DOC＝S△AOD．由模型１(４)的结论可 得S四边形ABCD＝２|k|＝２×４＝８． 答案８ 【例２】(江苏南京中考)如图,正比例函 数y＝kx 与反比例函数y＝ ６ x 的图象 交于A,B 两点,BC∥x 轴,AC∥y 轴,则S△ABC＝　　　　． 思路分析 知条件　正比例函数y＝kx 与反比例 函数y ＝ ６ x 的图象交于A,B 两点,BC∥x 轴,AC∥y 轴． 套模型　利用模型１(５)的结论S△ABA′＝ ２k 求解． 解析 如图,连接 OC．设 AC 交 x 轴 于 点 N, BC 交y 轴 于 点 M．因 为 正 比例函数y＝ kx 与函数y＝ ６ x 的图象交于A,B 两 点,所以点 A 与点B 关于原点对称, BC∥x 轴,AC∥y 轴,所以A,C 两点 关于x 轴对称,B,C 两点关于y 轴对 称,所 以 S△AON ＝S△OBM ＝S△CON ＝ S△COM ．由 模 型 １(５)的 结 论 可 得 S△ABC＝２k ＝２×６＝１２． 答案１２ 【例３】(湖北鄂州中考)如图,A 是反比例 数学　九年级　下册 ３８　 函数y＝ １２ x (x＞０)的图象上一点,过 点A 作AC⊥x 轴于点C,AC 交反比 例函数y＝ k x (x＞０)的图象于点B,P 是y 轴正半轴上一点．若△PAB 的面 积为２,则k的值为　　　　． 思路分析