第二十四章 圆 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 ２１２　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 第二十四章　圆 ２１３　 专题一　垂径定理及其推论的应用 　　垂径定理是计算线段的长度、证明 线段相等的重要依据,同时也能得出弧 的相等．应用垂径定理时,常利用半径、弦 的一半、圆心到弦的垂线段构造直角三 角形,结合勾股定理进行有关的证明或 计算． 【例１】(青海中考)一位同学从照片上剪 切下来的海上日出时的画面如图所 示,“图上”太阳与海平线交于A,B 两 点,他测得“图上”圆的半径为１０cm, AB＝１６cm．若从目前太阳所处位置到 太阳完全跳出海平面的时间为１６min, 则“图上”太阳升起的速度为 (　　) A．１．０cm/min　　B．０．８cm/min C．１．２cm/min D．１．４cm/min 解析 设“图上”圆的圆心为O,连接OA, 过点O 作OD⊥AB 于点D,反向延长 OD,交☉O 于点E,如图所示． 因为AB＝１６cm, 所以AD＝ １ ２AB＝８cm． 因为OA＝１０cm,AD＝８cm,OD⊥ AB, 所以OD＝ OA２－AD２ ＝ １０２－８２ ＝ ６(cm), 所以DE＝OE＋OD＝１０＋６＝１６(cm)． 因为太阳从目前所处位置到完全跳出 海平面需要的时间为１６min, 所以“图上”太阳升起的速度为１６÷１６＝ １．０(cm/min)． 答案 A 4 垂径定理及其推论的四个应用 (１)计算线段的长度:常构造直角 三角形,结合勾股定理进行计算; (２)证明线段相等:根据垂径定理 推导线段相等; (３)证明等弧; (４)证明垂直:根据垂径定理的推 论证明线段互相垂直． 专题二　圆周角、圆心角性质的应用 　　圆周角、圆心角是圆中两个重要的 角,圆中求角的度数时,常用的方法是借 助圆周角、圆心角性质进行转化．解题中 常用的转化技巧如下: (１)在同圆或等圆中,要证弧相等, 常通过证明两条弧所对的圆周角或圆心 角相等来证明; (２)在同圆或等圆中,要证圆周角或 圆心角相等,常通过证明两个圆周角或 圆心角所对的弧或弦相等来证明; (３)当圆中有直径时,常构造直径所 对的直角; (４)当圆中有９０°圆周角时,常构造 ９０°圆周角所对的直径; 数学　九年级　上册 ２１４　 　　(５)当圆中有内接四边形时,常借助 对角互补解题． 【例２】 如图,A,D 是☉O 上的两个点, BC 是直径．若∠ADC＝３２°,则∠OAC 等于 (　　) A．６４° B．５８° C．７２° D．５５° 解析 方 法 １:因 为 ∠ADC ＝３２°,所 以 ∠AOC＝２∠ADC＝６４°．因 为 OA ＝ OC,所 以 ∠OAC＝ １ ２ (１８０°－６４°)＝ ５８°．故选B． 方法２:如图①,连接AB,则∠ABC＝ ∠ADC＝３２°． 因为BC 为☉O 的直径,所以∠BAC＝ ９０°,所以∠ABC＋∠ACB＝９０°,所以 ∠ACB＝５８°．因 为 OA ＝OC,所 以 ∠OAC＝∠ACB＝５８°．故选B． 图① 　　 图② 方法３:如图②,延长AO,交☉O 于点 E．因 为 ∠ADC＝３２°,所 以 ∠AOC＝ ２∠ADC＝６４°． 因为A,O,E 三点共线, 所以∠COE＝１８０°－∠AOC＝１１６°, 所以∠OAC＝ １ ２∠COE＝５８°． 故选B． 答案 B 【例３】如图,圆内接四边形ABCD 两组 对边的延长线分别相 交 于 点E,F, ∠A＝５５°,∠E＝３０°,则∠F＝　　　　． 解析 因为四边形ABCD 是圆内接四边形, ∠E＝３０°,所以∠ECD＝∠A＝５５°,所 以 ∠EDC ＝１８０°－ ∠E － ∠ECD ＝ ９５°,所以∠F＝∠EDC－∠A＝４０°． 答案４０° 专题三　切线的判定与性质的应用 　　运用切线的性质时,常常“作过切点 的半径”,构造直角三角形,利用勾股定 理解决相关问题． 　　判定一条直线是圆的切线时,若已 知直线与圆有公共点,则“连半径,证垂 直”;若直线与圆没有明确的公共点,则 “作垂直,证半径”． 【例４】(内蒙古通辽中考)如图,AB 是 ☉O 的直径,过 点 A 作 ☉O 的 切 线 AC,P 是 射 线 AC 上 的 动 点,连 接 OP,过点B 作BD∥OP,交☉O 于点 D,连接PD． (１)求证:PD 是☉O 的切线; (２)当四边形POBD 是平行四边形时, 求∠APO 的度数． 　 备用图 第二十四章　圆 ２１５　 (１)证明 如图,连接OD． 因为 PA 与 ☉O 相切 于点A, 所以PA⊥AB, 即∠PAO＝９０°． 因为BD∥OP, 所以∠DBO＝∠AOP, ∠BDO＝∠DOP． 因为OD＝OB, 所以∠BDO＝∠DBO, 所以∠DOP＝∠AOP． 在△AOP 和△DOP 中, AO