第二十四章 模型专题 圆的解题模型-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 ２１０　 模型专题 模型一　巧用“垂径”计算模型 １．利用垂径定理计算时,应注意两点: ①常作的辅助线是连接半径或作垂直 于弦的直径,从而构造直角三角形,应 用勾股定理解决问题;②当问题中没有 给出确定的图形或条件不明确时,应当 分情况进行讨论． 构造直角三角形的目的是建立已知条 件和所求结论之间的联系． ２．解题思路:求线段长时,一般把半径、圆 心到弦的垂线段、弦长的一半构建在同 一个 直 角 三 角 形 中,利 用 勾 股 定 理 求解． 可总结为“垂径定理＋勾股定理求解”． ３．模型类型: 构建直角三角形如图所示． ①求线段长 　　　 ②确定圆心 ③求点的坐标 【例１】如图,☉O 的直径CD＝２０,AB 是 ☉O 的弦,且AB⊥CD,垂足为M,OM∶ MC＝３∶２,则AB 的长为 (　　) A．８　　　　　　　B．１２ C．１６ D．２ ９１ 思路分析 知条件　CD＝２０,AB⊥CD,垂足为 M,OM∶MC＝３∶２． 套模型　连接OA,构建 Rt△OAM,利 用勾股定理解决问题． 解析 如图,连接OA． 因为AB⊥CD, 所以AM＝BM． 因为CD＝２０, 所以OC＝OA＝１０． 因为OM∶MC＝３∶２, 所以OM＝６． 在 Rt△OAM 中,AM＝ １０２－６２ ＝８, 所以AB＝２AM＝１６． 答案 C 第二十四章　圆 ２１１　 模型二　 直径所对的圆周角、９０°的 圆周角模型 １．在圆中,直径是最长的弦,它所对的圆 周角是直角,故在圆中遇到“直径”常构 造直角,或者遇到“９０°的圆周角”构造 直径,利用直角三角形的性质解决问题． 构造的目的是建立弦与角之间的联系． ２．解题思路:利用“直径”构造直角三角 形,运用勾股定理建立代数模型． 可总结为“见直径作直角,有直角作 直径”． ３．模型类型: (１)已知AB 是☉O 的直径,连接弦,构 造直径所对的直角(如图所示)． (２)已知圆周角∠DBC＝９０°,连接弦,构 造９０°的圆周角所对的直径(如图所示)． 【例２】如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上 的两点,连接CA,CD, AD．若∠CAB＝４０°,则 ∠ADC 的度数是 (　　) A．１１０°　　　　　B．１３０° C．１４０° D．１６０° 思路分析 知条件　AB 是☉O 的直径,∠CAB＝ ４０°． 套模型　 连接 BC,构建直径所对的 直角． 解析 如图,连接BC． 因为AB 是☉O 的直径, 所以∠ACB＝９０°, 所 以 ∠B ＝ ９０° － ∠CAB＝９０°－４０°＝５０°． 根据圆内接四边形的性质可知,∠B＋ ∠ADC＝１８０°, 所以∠ADC＝１８０°－５０°＝１３０°． 答案 B 【例３】如图,☉A 过点 O(０,０),B (２ ３,０), D(０,２),点 C 是 ☉A 上的一点,连接 CO, CD,则 ∠DCO 的 度 数为 (　　) A．２２．５° B．３０° C．３７．５° D．４５° 思路分析 知条件　点O(０,０),B(２３,０),D(０,２)． 套模型　连接BD,构建９０°的圆周角 所对的直径． 解析 如 图,连 接 OA, DB．由 题 意 可 知,在 Rt△DOB 中,OD ＝ ２,OB ＝２ ３,所 以 BD＝ OD２＋OB２＝４． 所以AD＝OA＝AB＝２＝OD, 所以△OAD 是等边三角形, 所以∠ODA＝６０°,所以∠OBD＝３０°． 由圆 周 角 定 理 的 推 论,得 ∠DCO ＝ ∠OBD＝３０°． 答案 B