第二十三章 模型专题 旋转模型-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 １３２　 模型专题 模型一　“手拉手”模型 １．两个具有公共顶点的多边形,在绕着公 共顶点旋转的过程中,产生全等三角 形,这样的图形称作共点旋转模型．为 了更加直观,我们形象地称其为“手拉 手”模型． ２．模型类型:常见的有以下几种类型． 图① 　 图② 　 图③ (１)“手拉手”全等(△ABP≌△A′B′P); (２)“拉手线”相等(AB＝A′B′); (３)交叉时,“拉手线”夹角＝顶角(如 图②中∠AOA′＝∠APA′)． 【例１】在△ABC 中,AB＝AC,P 是平面 内一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至 AQ,使 ∠QAP ＝ ∠BAC,连 接 BQ, CP． (１)如图①,点 P 在△ABC 内部,求 证:BQ＝CP; (２)如图②,点P 在△ABC 外部,(１) 中的结论还成立吗? 图① 　　 图② 思路分析 知条件　AB＝AC,将AP 绕点A 顺时 针 旋 转 至 AQ,使 ∠QAP ＝ ∠BAC． 套模型 　 根 据 “手 拉 手”模 型,证 明 △AQB≌△APC． 解 (１)因为∠QAP＝∠BAC, 所 以 ∠QAP － ∠BAP ＝ ∠BAC － ∠BAP,即∠QAB＝∠PAC． 由题意,得AQ＝AP,AB＝AC． 在△AQB 和△APC 中,AQ＝AP, ∠QAB＝∠PAC,AB＝AC, 所以△AQB≌△APC,所以BQ＝CP． (２)成立．理由如下: 因为∠QAP＝∠BAC, 所 以 ∠QAP ＋ ∠BAP ＝ ∠BAC ＋ ∠BAP,即∠QAB＝∠PAC． 由题意,得AQ＝AP,AB＝AC． 在△AQB 和△APC 中,AQ＝AP, ∠QAB＝∠PAC,AB＝AC, 所以△AQB≌△APC,所以BQ＝CP． 第二十三章　旋　转 １３３　 【例２】如图,P 为正方形ABCD 内一点, 若PA＝a,PB＝２a,PC＝３a(a＞０)． (１)求∠APB 的度数; (２)求正方形ABCD 的面积． 思路分析 知条件　P 为正方形ABCD 内一点, PA＝a,PB＝２a,PC＝３a (a＞０)． 套模型　可将△ABP 绕点B 顺时针方 向旋转９０°得△CBQ,根据“手 拉手”模型得出边角关系,进 而得到答案． 解 (１)如图,将△ABP 绕点B 顺时针方 向旋 转 ９０°得 △CBQ,连 接 PQ,则 △ABP≌△CBQ,且PB⊥QB, 所以∠APB＝∠CQB,AP＝QC＝a, PB＝QB＝２a,所以PQ＝２２a． 在△PQC 中,因为 PC２＝９a２,QC＝ AP＝a, 所以PQ２＋QC２＝９a２＝PC２, 所以△PQC 是直角三角形,∠PQC＝ ９０°． 因为PB⊥QB,PB＝QB,所以△PBQ 是等腰直角三角形, 所以∠BPQ＝∠BQP＝４５°, 所以∠CQB＝１３５°, 故∠APB＝∠CQB＝１３５°． (２)如图,连接AC． 因 为 ∠APQ ＝ ∠APB ＋ ∠BPQ ＝ １３５°＋４５°＝１８０°, 所以A,P,Q 三点在同一直线上． 在Rt△AQC 中,AC２＝AQ２＋QC２＝ (a＋２２a)２＋a２＝(１０＋４２)a２, 所以正方形ABCD 的面积S＝AB２＝ AC２ ２ ＝ (５＋２２)a２． 模型二　对角互补旋转模型 １．有一组邻边相等的四边形,这两条边各 自与另一条邻边所组成的内角互补,这 样就能得到一个结论:另外两条邻边组 成的角被从顶点出发的对角线平分．为 了更加直观,我们形象地称其为对角互 补旋转模型． ２．模型类型: (１)９０°角全等型 已知:如图,∠AOB＝∠DCE＝９０°,OC 平分∠AOB,点D,E 在OA,OB 上, 　 作法:过点C 作 CM⊥OA,CN⊥OB 数学　九年级　上册 １３４　 结论:①CD＝CE; ②OD＋OE＝ ２OC; ③S四边形ODCE ＝S△OCE ＋S△OCD ＝ １ ２OC ２． (２)１２０°角全等型 已知:如图,∠AOB＝１２０°,∠DCE＝ ６０°,OC 平分∠AOB,点D,E 在OA, OB 上, 　 作法:过点C 作 CF∥OD 结论:①CD＝CE; ②OD＋OE＝OC; ③S四边形ODCE＝S△OCE＋S△OCD＝ ３ ４OC ２． (３)任意角全等型 已 知:如 图,OD ＝OE,CD ＝CE, ∠AOB ＋∠DCE＝１８０°． 结论:OC 平分∠AOB． 【例３】如图,四边形ABCD 被对角线BD 分为等 腰直角三角形ABD 和 Rt△CBD,其中∠BAD 和∠DCB 都 是直角,另一条对角线AC 的长度为２, 求四边形ABCD 的面积． 思路分析 知条件　四边形ABCD 被对角线BD 分为 等 腰 直 角 三 角 形ABD 和 Rt△CBD,其 中 ∠BAD 和∠BCD 都是直角,另一条 对角线AC