第二十二章 二次函数 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十二章　二次函数 １０１　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　九年级　上册 １０２　 专题一　二次函数的图象与性质 图象形状 抛物线y＝ax２＋bx＋c 顶点坐标 ( －b２a, ４ac－b２ ４a ) 开口方向 及最值 a＞０↔向上↔最小值 ４ac－b２ ４a a＜０↔向下↔最大值 ４ac－b２ ４a a,b,c, b２－４ac 若对称轴在y 轴的左侧,则a,b 同号;若对称轴在y 轴的右侧,则 a,b异号 c 为 抛 物 线 与y 轴 的 交 点 的 纵 坐标 b２－４ac 的符号决定抛物线与x 轴的交点的个数 【例１】(山东滨州中考)对于二次函数y＝ １ ２x ２－６x＋２１,有以下结论:①当x＞５ 时,y 随x 的增大而增大;②当x＝６ 时,y 有最小值３;③图象与x 轴有两 个交点;④图象是由抛物线y＝ １ ２x ２向 左平移６个单位长度,再向上平移３个 单位长度得到的．其中正确结论的个 数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析 因为二次函数y＝ １ ２x ２－６x＋２１＝ １ ２ (x－６)２＋３,所以该函数图象的对称 轴为直线x＝６,函数图象开口向上,所 以当x＜６时,y 随x 的增大而减小, 当x＞６时,y 随x 的增大而增大,故 ①不正确;当x＝６时,y 有最小值３, 故②正确;当y＝０时,一元二次方程 １ ２x ２－６x＋２１＝０无实数根,即该函数 的图象与x 轴无交点,故③不正确;该 函数的图象是由抛物线y＝ １ ２x ２向右 平移６个单位长度,再向上平移３个单 位长度得到的,故④不正确．故选 A． 答案 A 【例２】(四川凉山州中考)二次函数y＝ ax２＋bx＋c(a≠０)的图象如图所示, 则下列结论中不正确的是 (　　) A．abc＞０ B．函数的最大值为a－b＋c C．当－３≤x≤１时,y≥０ D．４a－２b＋c＜０ 解析 因为抛物线开口向下,所以a＜０． 因为抛物线的对称轴为直线x＝－ b ２a＝ －１,所以b＝２a＜０． 因为 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 在x 轴 上方, 所以c＞０,所以abc＞０,所以 A 项不 符合题意． 当x＝－１时,函数取得最大值,最大 值为a􀅰(－１)２＋b􀅰(－１)＋c＝a－ b＋c,故B项不符合题意． 第二十二章　二次函数 １０３　 由题图易得,抛物线与x 轴的另一个交 点的坐标为(－３,０), 所以当－３≤x≤１时,y≥０, 故C项不符合题意． 当x＝－２时,y＞０, 所以a􀅰(－２)２＋b􀅰(－２)＋c＞０, 即４a－２b＋c＞０,故D项符合题意．故选D． 答案 D 4 　　二次函数的图象与性质的问题,主 要考查的内容是抛物线的顶点坐标、开 口方向、对称轴以及函数的增减性等, 处理此类问题的常用方法是配方法、公 式法、特殊值代入法和数形结合法． 专题二　 二次函数与一元二次方程的 关系 　　二次函数与一元二次方程之间有着 密切的联系,对于二次函数y＝ax２＋bx＋ c,令y＝０,求自变量x的值可看成解一元 二次方程ax２＋bx＋c＝０．解关于x 的一 元二次方程ax２＋bx＋c＝０可以看成求 二次函数y＝ax２＋bx＋c在函数值y 为 ０时的自变量的值． 【例３】(贵州贵阳中考)已知二次函数y＝ ax２＋bx＋c的图象经过(－３,０)与(１,０) 两点,关于x 的方程ax２＋bx＋c＋ m＝０(m＞０)有两个根,其中一个根是 ３,则关于x 的方程ax２＋bx＋c＋n＝ ０(０＜n＜m)有两个整数根,这两个整 数根分别是 (　　) A．－２和０　　　　B．－４和２ C．－５和３ D．－６和４ 解析 由题意可知,关于x 的方程ax２＋ bx＋c＝０的两个根分别是－３和１,则 － b a＝－３＋１＝－２． 设关于x 的方程ax２＋bx＋c＋m＝０ 的另外一根是x０, 方程ax２＋bx＋c＋n＝０的两根分别 为x１,x２(x１＜x２), 则x０＋３＝－ b a＝－２＝x１＋x２ , 所以x０＝－５． 因为m＞０,－５＜－３,１＜３, 所以a＜０． 因为０＜n＜m,所以－５＜x１＜－３, １＜x２＜３． 故关于x 的方程ax２＋bx＋c＋n＝０ 的两个整数根分别是－４和２． 答案 B 4 　　二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象 与x 轴交点的横坐标是相应的一元二 次方程ax２＋bx＋c＝０的根;二次函数 的图象与x轴交点的个数由相应的一元 二次方程的根的判别式的符号确定． 专题三　二次函数的实际应用 　　二次函数是解决实际问题的一个重 要的数学模型,解题时,要认真分析实际 问题,建立相对应的二次函数模型,然后 利用二次函数的图象与性质、二次函数 与一元二次方程的关系来解决实际问题, 其中利用二次函数的性质来求