第二十一章 一元二次方程 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 ４２　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 第二十一章　一元二次方程 ４３　 专题一　一元二次方程的解法 　　一元二次方程的解法有直接开平方 法、配方法、公式法和因式分解法,应根 据方程的特点灵活选用适当的解法． (１)若方程可化为(mx＋n)２＝p(m≠ ０,p≥０)的 形 式,则 宜 选 用 直 接 开 平 方法; (２)若方程二次项系数为１,一次项 系数为偶数,则宜选用配方法; (３)若方程的右边为０,且左边能分 解因式,则宜选用因式分解法; (４)若用直接开平方法、配方法、因 式分解法都不简便,则选用公式法． 无论选用什么方法,“降次”是各种 解法的基本思路． １．用直接开平方法解一元二次方程 【例１】(安徽中考)解方程:(x－１)２＝４． 解 两边直接开平方,得x－１＝±２, 所以x－１＝２或x－１＝－２, 解得x１＝３,x２＝－１． 4 　　若方程符合a(x－n)２＝m(am≥ ０,a≠０)的形式,用直接开平方法解方 程比较简便．对于一元二次方程的一般 形式ax２＋bx＋c＝０(a≠０)而言,当 b＝０时,用直接开平方法较好． ２．用配方法解一元二次方程 【例２】(海南中考)用配方法解方程x２－ ６x＋５＝０,配方后所得的方程是 (　　) A．(x＋３)２＝－４　　B．(x－３)２＝－４ C．(x＋３)２＝４ D．(x－３)２＝４ 思路分析 把常数项５移项后,应该在方 程左右两边同时加上一次项系数－６ 的一半的平方,即利用配方法求解． 解析 把方程x２－６x＋５＝０的常数项移 到等号的右边,得x２－６x＝－５．方程 两边 同 时 加 上 一 次 项 系 数 一 半 的 平 方,得x２－６x＋９＝－５＋９,即(x－ ３)２＝４． 答案 D ３．用因式分解法解一元二次方程 【例３】(广东广州中考)方程x２－４x＝０ 的实数解是　　　　． 解析 分解因式,得x(x－４)＝０．于是得 x＝０或x－４＝０,解得x１＝０,x２＝４． 答案x１＝０,x２＝４ 4 　　(１)因式分解法的一般步骤: 移项 → 分解因式 → 转化 → 解答 (２)使用条件:方程的一边为０,另一 边易化为两个一次因式的乘积的形式． ４．用公式法解一元二次方程 【例４】(江苏无锡中考)解方程:x２＋x－ １＝０． 解 因为a＝１,b＝１,c＝－１, 所以Δ＝１２－４×１×(－１)＝５＞０, 所以x＝ －１± ５ ２×１ , 所以x１＝ －１＋ ５ ２ ,x２＝ －１－ ５ ２ ． 数学　九年级　上册 ４４　 4 　　一般形式的方程ax２＋bx＋c＝０ (a≠０),当a,b,c 不缺项且不易因式 分解时,一般采用公式法求解． ５．用适当的方法解一元二次方程 【例５】(四 川 遂 宁 中 考)解方程:x２ ＋ ２x－３＝０． 思路分析 观察方程,根据方程的特点,本 题可用因式分解法、公式法或配方法 来解,应选择最简单的解法,即因式分 解法． 解 因式分解,得 (x＋３)(x－１)＝０, 所以x＋３＝０或x－１＝０, 解得x１＝－３,x２＝１． " 一元二次方程解法的选择 　　若没有特别说明,解法选择的基本 顺序是直接开平方法→因式分解法→ 公式法→配方法．配方法使用较少,除 非题目有明确的要求． 专题二　一元二次方程根的判别式 　　一元二次方程根的判别式是判断方 程有无实数根的重要工具,主要从两个 方面考查:一是利用根的判别式判断一 元二次方程根的情况;二是已知一元二 次方程根的情况,利用根的判别式求方 程中未知字母的取值范围． 【例６】(湖南怀化中考)对于一元二次方 程２x２－３x＋４＝０,则它的根的情况 为 (　　) A．没有实数根 B．两根之和是３ C．两根之积是－２ D．有两个不相等的实数根 解析 因为a＝２,b＝－３,c＝４, 所以Δ＝b２－４ac＝(－３)２－４×２× ４＝－２３＜０, 所以一元二次方程２x２－３x＋４＝０没 有实数根． 答案 A 4 　　已知一个一元二次方程,要判断它 的根的情况时,首先要利用判别式判断这 个一元二次方程是否存在实数根,然后再 作下一步的判断． 【例７】(吉林长春中考)关于x 的一元二 次方程x２－６x＋m＝０有两个不相等 的实数根,则m 的值可能是 (　　) A．８　　　　　　　B．９ C．１０ D．１１ 解析 根据题意,得Δ＝ (－６)２－４m＞０, 解得m＜９．故选 A． 答案 A 4 　　当一元二次方程有两个不相等的 实数根时,判别式b２－４ac＞０．因此,判 别式在求方程的未知字母的取值或取 值范围时起限制作用．另外要注意它使 用的前提是方程为一元二次方程,应保 证a≠０． 专题三　 一元二次方程的根与系数 的关系 　　根与系数的关系是不解一元二次方 程