第十三章 模型专题 轴对称解题模型-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十三章　轴对称 １４７　 0   0 模型专题 模型一　 “角平分线＋平行线构造等 腰三角形”模型 １．角平分线＋平行线构造等腰三角形是 指在一个角的平分线上取一点,通过作 角的一边的平行线与角的另一边形成 的三角形是等腰三角形． ２．解题思路:当题干中出现角平分线＋平 行线时,通常用于构造等腰三角形,再 利用等腰三角形的边角关系解决问题． ３．模型类型:如图,若 ∠１＝ ∠２,AC∥ OB,则△OAC 为等腰三角形． C A BO 1 2 【例１】如 图,在 △ABC 中,∠ABC 和 ∠ACB 的平分线相交于点F,过点F 作DE∥BC,分别交AB,AC 于点D, E．若AB＝５,AC＝４,则△ADE 的周 长是 (　　) CB D EF A A．９　　　B．８　　　C．３　　　D．１０ 思路分析 知条件　∠ABC 和∠ACB 的平分线 相 交 于 点 F,过 点 F 作 DE∥BC,AB＝５,AC＝４． 套模型　已知角平分线＋平行线时, 隐含等腰三角形,利用等腰 三角形求解即可． 解析 因为∠ABC 和∠ACB 的平分线相 交于点F, 所 以 ∠DBF ＝ ∠CBF,∠ECF ＝ ∠BCF． 因为DE∥BC, 所 以 ∠DFB ＝ ∠CBF,∠BCF ＝ ∠EFC, 所 以 ∠DBF ＝ ∠DFB,∠ECF ＝ ∠EFC, 所以DB＝DF,EF＝EC, 所以△ADE 的周长＝AD＋DE＋AE ＝AD＋DF＋EF＋AE ＝AD＋BD＋EC＋AE ＝AB＋AC＝５＋４＝９． 答案 A 模型二　 “角平分线＋垂线构造等腰 三角形”模型 １．“角平分线＋垂线构造等腰三角形”模 型指的是当一个角的平分线垂直于某 条线段时,通常延长这条线段与角的另 数学　八年级　上册 １４８　 0   0 一条边构造等腰三角形． ２．模型类型:如图,在△ABC 中,AD 平 分∠BAC,CD⊥AD,故可以延长CD 交AB 于 点 E,则 △ACE 是 等 腰 三 角形． A E D C B 【例２】如图,在 △ABC 中,AB ＝AC, ∠A＝９０°,BE 是角平分线,CD⊥BE, 交BE 的延长线于点D,求证:BE＝ ２CD． A D E CB 思路分析 知条件　在△ABC 中,AB＝AC,∠A＝ ９０°,BE 是 角 平 分 线,CD ⊥ BE,交BE 的延长线于点D． 套模型　利用“角平分线＋垂线构造 等腰三角形”模型,作辅助线 构造等腰三角形． 证明 如图,延长BA,CD 相交于点Q． 因为∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝９０°, 所以 ∠ACQ ＋ ∠Q ＝９０°,∠ABE ＋ ∠Q＝９０°． 所以∠ACQ＝∠ABE． 在△ABE 和△ACQ 中, ∠ABE＝∠ACQ, AB＝AC, ∠BAE＝∠CAQ, ì î í ï ï ï ï 所以△ABE≌△ACQ(ASA)． 所以BE＝CQ． 因为BD 平分∠ABC, 所以∠QBD＝∠CBD． 因为CD⊥BD,即BD⊥CQ, 所以∠BDQ＝∠BDC． 在△BQD 和△BCD 中, 因为 ∠QBD＝∠CBD, BD＝BD, ∠BDQ＝∠BDC, ì î í ï ï ï ï 所以△BQD≌△BCD(ASA)． 所以CD＝DQ． 所以BE＝CQ＝２CD． Q A D E CB 模型三　二倍角模型 １．在初中平面几何中,经常会遇到三角形 中一个内角是另一个内角二倍的问题 (本文简称“二倍角”问题),这类问题往 往需要作相应的辅助线．因为等腰三角 形顶角的外角是其任一底角的二倍,因 而构建等腰三角形是破解二倍角问题 的一大妙招． ２．模型类型:常见的有以下几种类型: 已知在△ABC 中,∠ACB＝ １ ２∠ABC． (１)如图①,作∠ABC 的平分线BD,则 可构造等腰三角形BDC; (２)如图②,作∠BCE＝２∠ACB,交BA 第十三章　轴对称 １４９　 0   0 的延长线于点E,则可构造等腰三角形 BCE; A B C D 图① 　　 E A B C 图② (３)如图③,延长CB 至点D,使BD＝ AB,则可构造两个等腰三角形,分别 是 等 腰 三 角 形 ABD,等 腰 三 角 形 ADC; (４)如图④,作∠BCE＝∠ACB,交AB 的延长线于点E,则可构造等腰三角形 BCE． A B CD 图③ 　　 A B C E 图④ 【例 ３】如 图,在 △ABC 中,AD 平 分 ∠BAC,交BC 于点D,且∠B＝２∠C． 求证:AB＋BD＝AC． DB A C 思路分析 知条件　在 △ABC 中,AD 平 分 ∠BAC,交 BC 于 点 D,且 ∠B＝２∠C． 套模型　根据二倍角模型,作辅助线 构造等腰三角形． 证明 方法１:如图,作∠CDP＝∠C,交 AC 于点P, 所以 PD ＝PC