第十三章 轴对称 习题课 构造等腰三角形的常用方法讲义 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 习题课 构造等腰三角形的常用方法 【知识网络】 【同步练习】 类型1 平移模型 【模型展示】 ①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形，如图①，若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC为等腰三角形． ②作腰的平行线构造等腰三角形．如图②，图③，若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形． ③作底边的平行线构造等腰三角形．如图④，图⑤，若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形． 1．如图，等边△ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG. 2．如图，D是等边△ABC的边AC的中点，F在AB上，E在BC的延长线上，∠FDE＝120°. (1)求证：DE＝DF； (2)求证：CE＋BF＝BC. 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)如图①，当P为AB的中点时，求证：PD＝QD； (2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形 【模型展示】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，故可以延长CD交AB于点E，则△ACE是等腰三角形． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证：BE＝2CD. 类型3 利用截长补短法构造等腰三角形 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC, BD平分∠ABC，交AC于点D. 求证：BC＝AB＋CD. 类型4 利用倍长中线法构造等腰三角形 6．如图，△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF. 求证：AB＝CF. 7．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE. 类型5 利用倍角关系构造等腰三角形(选做) 【模型展示】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB. 如图①，作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形； 如图②，延长CB至点D，使BD＝BA，则△ADB，△ADC是等腰三角形； 如图③，作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC. 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点．求证：DM＝AB. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【同步练习】 类型1 平移模型 【模型展示】 ①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形，如图①，若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC为等腰三角形． ②作腰的平行线构造等腰三角形．如图②，图③，若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形． ③作底边的平行线构造等腰三角形．如图④，图⑤，若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形． 1．如图，等边△ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG. 证明：过点D作DF∥BC交AB延长线于点F，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF，又∵AD＝CE，∴FD＝CE，又∵∠DFB＝∠DCE＝60°，∴△BFD≌△DCE，∴DB＝DE，又∵DG⊥BC，∴BG＝EG. 2．如图，D是等边△ABC的边AC的中点，F在AB上，E在BC的延长线上，∠FDE＝120°. (1)求证：DE＝DF； (2)求证：CE＋BF＝BC. 证明：(1)过点D作DP∥BC交AB于点P，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠ADP＝∠APD＝∠A＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴AD＝DP＝AP，∠DPF＝∠DCE＝∠PDC＝120°，又∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝PD，又∵∠FDE＝120°，∴∠PDF＝∠CDE，∴△DPF≌△DCE，∴DF＝DE；　 (2)∵△DPF≌△DCE，∴PF＝CE，∴CE＋BF＝PF＋BF＝PB，由(1)可得，PB＝BA，∴CE＋BF＝BC. 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)如图①，当P为AB的中点时，求证：PD＝QD； (2)如图