第十二章 全等三角形 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十二章　全等三角形 ８９　 0   0 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 专题一　全等三角形性质的应用 　　全等三角形对应边相等,对应角相 等,这是证明线段(或角)相等的常用的 方法．应用全等三角形的性质的关键是找 准对应元素． 【例１】如图,B,C,E 三点在同一条直线 上,AC ∥DE,AC ＝CE,∠ACD ＝ ∠B． 求证:AB＝CD． D A B C E 证明 因为AC∥DE, 所以∠ACB＝∠E,∠ACD＝∠D． 因为∠ACD＝∠B, 所以∠B＝∠D． 数学　八年级　上册 ９０　 0   0 在△ABC 和△CDE 中, ∠ACB＝∠E, ∠B＝∠D, AC＝CE, ì î í ï ï ï ï 所以△ABC≌△CDE(AAS), 所以AB＝CD． 专题二　全等三角形判定方法的应用 　　判定两个三角形全等的方法主要有 “边边边”(SSS),“边角边”(SAS),“角边 角”(ASA),“角角边”(AAS)四种方法, 以上四种方法对于任意三角形均适用．对 于直角三角形,除了上述四种方法外,还 有“斜边、直角边”(HL)． １．条件具备直接证明全等三角形 【例２】已知△ABN 和△ACM 的位置如图 所示,AB＝AC,AD＝AE,∠１＝∠２． (１)求证:BD＝CE; (２)求证:∠M＝∠N． 证明 (１)在△ABD 和△ACE 中, AB＝AC, ∠１＝∠２, AD＝AE, ì î í ï ï ï ï 所以△ABD≌△ACE(SAS)． 所以BD＝CE． (２)因为∠１＝∠２, 所以∠１＋∠DAE＝∠２＋∠DAE, 即∠BAN＝∠CAM． 由(１),得△ABD≌△ACE, 所以∠B＝∠C． 在△ABN 和△ACM 中, ∠B＝∠C, AB＝AC, ∠BAN＝∠CAM, ì î í ï ï ï ï 所以△ABN≌△ACM(ASA)． 所以∠M＝∠N． ２．适当添加条件证明全等三角形 【例３】如图,直线EF 经过AC 的中点O, 交AB 于点E,交CD 于点F,下列能使 △AOE≌△COF 的条件有 (　　) ①∠A＝ ∠C;②AB∥CD;③AE＝ CF;④OE＝OF． A D F C E B O A．１个　B．２个　C．３个　D．４个 解析 因为点O 为AC 的中点, 所以OA＝OC． 因为∠AOE＝∠COF,所以当∠A＝ ∠C 时,可根据“ASA”判断△AOE≌ △COF;当 AB∥CD 时,∠A＝∠C, 可根据“ASA”判断△AOE≌△COF; 当 OE ＝OF 时,可 根 据 “SAS”判 断 △AOE≌△COF．故选C． 答案 C " 添加条件证明三角形全等的解题策略 先理解题目中已存在的条件(包括 已知条件及隐含条件),再根据三角形 全等的判定方法进行综合考虑,从而确 定需要添加的条件． 第十二章　全等三角形 ９１　 0   0 ３．适当作辅助线证明全等三角形 【例４】如图,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为CD 上的一点,连 接EF,则BE＋DF＝EF,求∠EAF 的度数． A D F CEB 解 如图,延长EB 至点H,使BH＝DF, 连接AH, H A D F CEB 在△ABH 和△ADF 中, AB＝AD, ∠ABH＝∠ADF＝９０°, BH＝DF, ì î í ï ï ï ï 所以△ABH≌△ADF(SAS), 所以AH＝AF,∠BAH＝∠DAF, 所以 ∠BAH ＋ ∠BAF ＝ ∠DAF ＋ ∠BAF,即∠HAF＝∠BAD＝９０°． 因为BE＋DF＝EF, 所以BE＋BH＝EF,即 HE＝EF． 在△AEH 和△AEF 中, AH＝AF, AE＝AE, EH＝EF, ì î í ï ï ï ï 所以△AEH≌△AEF(SSS), 所以∠EAH＝∠EAF, 所以∠EAF＝ １ ２∠HAF＝４５°． ４．开放性问题 【例５】如图,AD 与BC 交于点O,①AD＝ BC;②∠A＝∠C;③AB＝CD,请以 ①②③中的两个作为条件,另一个为 结论,写出一个真命题,并加以证明． A C O B D 解 已知①③,求证②或者已知②③,求 证①． 由①③证明②如下: 如图,连接BD, A C O B D 在△ABD 和△CDB 中, AB＝CD, BD＝DB, AD＝CB, ì î í ï ï ï ï 所以△ABD≌△CDB(SSS), 所以∠A＝∠C． 由②③证明①如下: 在△AOB 和△COD 中, ∠AOB＝∠COD, ∠A＝∠C, AB＝CD, ì î í ï ï ï ï 所以△AOB≌△COD(AAS)． 所以OA＝OC,OB＝OD, 所以AD＝BC． " 　　不论是条件开放性问题还是结论 开放性问题,这类题目的解法一般不是 唯一的．解答时,条