第十二章 全等三角形（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十二章 全等三角形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，点、、、在同一条直线上，且，下列判断错误的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．根据全等三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：， ，，，， ，， 故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 2．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：连接PQ， 当PQ⊥OM时， ∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON， ∴PQ=PA， 此时点P到OM的距离PQ最小， ∴PA≤PQ， 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键． 3．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 4．如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5．在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定三角形全等的方法有、、、、． 根据可判定，再根据全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得到． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 故选：A． 7．找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 8．如图，已知，尺规作图作，该尺规作图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作图方法可知， ∴， ∴ 故选：B． 9．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，根据题意可得出，结合已知条件，可得出． 【详解】解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴的依据是， 故选A． 10．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 11．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质． 作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于H， 由题中作法得平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 12．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 13．生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 14．如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 和不一定相等，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 15．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【详解】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 17．如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 18．如图，已知，且点分别与点对应，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质及线段的和差，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和即可得出，然后将对应线段的长度代入计算即可得出答案． 【详解】 ， ，， 故答案为：6． 19．如图，在直角三角形中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，若，，则 ．    【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由全等三角形的性质可得． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定方法证明．根据点是、的中点可得，，再根据对顶角相等即可证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：点是、的中点， ，， 在和中， ， ， ． 即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为． 21．（6分）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由“”可证，根据全等三角形的性质可得．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 【详解】证明：∵ ∴ 即， 在和中， ∴ ∴． 22．（7分）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的大小； （2）利用全等三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ （2）∵， ∴ ∴， ∴ 23．（6分）如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——作角平分线，作的角平分线，再连接并延长，交的角平分线于点即可，熟练作出一个角的角平分线是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ． 24．（8分）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应边相等，再证明，则全等三角形的对应角相等，则可得出． 【详解】证明：因为 所以，(两直线平行，内错角相等) 在与中 （对顶角相等）， 所以（）； 所以，（全等三角形对应边相等） 又因为， 所以， 所以， 在与中 所以； 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；；；；； 内错角相等，两直线平行． 25．（8分）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 26．（8分）如图，点C在线段上，，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证．请完成下面的证明过程： 证明： ① 在和中， ② 平分 ③ 在和中， ． 【答案】(1)见详解 (2)，，，． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案． 本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：， ①， 在和中， ②， 平分， ③， 在和中，， ． 故答案为：，，，． 27．（12分）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，点、、、在同一条直线上，且，下列判断错误的是 （    ） A． B． C． D． 2．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 7．找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 8．如图，已知，尺规作图作，该尺规作图的依据是（　　） A． B． C． D． 9．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（     ） A． B． C． D． 10．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 11．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．2 B． C．3 D． 12．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 13．生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 14．如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 15．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 17．如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 18．如图，已知，且点分别与点对应，，，则 ． 19．如图，在直角三角形中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，若，，则 ．    三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 21．（6分）如图，，，．求证：． 22．（7分）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 23．（6分）如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使且（保留作图痕迹，不写作法） 24．（8分）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 25．（8分）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 26．（8分）如图，点C在线段上，，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证．请完成下面的证明过程： 证明： ① 在和中， ② 平分 ③ 在和中， ． 27．（12分）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$