第十二章 模型专题 全等三角形解题模型-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

数学　八年级　上册 ８４　 0   0 模型专题 模型一　利用中线构造全等模型 １．(１)倍长中线:延长中线,使所延长部分 与中线相等,然后与三角形的另外一个 顶点相连,根据“SAS”构造全等三角形; (２)从三角形另外两个顶点向中线作垂 线段,利用“AAS”构造全等三角形． 利用中线构造全等三角形多用于证明 线段之间的关系． ２．解题思路:题干中出现三角形一边的中 线(或与中点有关的线段)以及中点,通 常考虑利用中线构造全等三角形,从而 运用全等三角形的有关知识来解决 问题． ３．模型类型:如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边的中线． A C D B (１)如图,延长 AD 到点E,使 DE＝ AD,连接BE． E A C D B (２)如 图,作 CF ⊥AD 于 点 F,作 BE⊥AD,交AD 的延长线于点E． E F A C D B 【例１】如图,在△ABC 中,D 为AC 的中 点,连接BD．若AB＝１０,BC＝６,求中 线BD 的取值范围． B CD A 思路分析 知条件　D 是AC 的中点． 套模型　把BD 延长一倍,构建两个 三角形,证明三角形全等． 解 如图,延长BD 至点E,使BD＝DE, 连接AE． B CD A E 因为D 为AC 的中点, 所以AD＝DC． 在△CBD 和△AED 中, 第十二章　全等三角形 ８５　 0   0 BD＝ED, ∠CDB＝∠ADE, CD＝AD, ì î í ï ï ï ï 所以△CBD≌△AED(SAS)． 所以EA＝BC＝６． 在△ABE 中,AB－AE＜BE＜AB＋ AE,即１０－６＜BE＜１０＋６, 所以４＜２BD＜１６, 所以２＜BD＜８． 模型二　截长补短模型 １．所谓截长补短其实包含两层意思,即 “截长”和“补短”．所谓“截长”就是将三 条线段中最长的线段分成两条,使其中 的一条线段与已知线段相等,然后证明 截剩的另一条线段与已知的另一条线 段的大小关系;所谓“补短”就是将一个 已知的较短线段延长,使延长部分与另 一个已知线段相等,然后求出两条已知 线段拼成的线段与最长线段的关系． 主要用来证明三条线段间的和差问题, 即当条件或结论中出现a＋b＝c 或 a－b＝c时,用截长补短法． ２．模型类型:如图①,若证明线段 AB, CD,EF 之间存在EF＝AB＋CD,可 以考虑截长补短法． 截长法:如图②,在 EF 上截取EG＝ AB,再证明GF＝CD 即可; 补短法:如图③,延长 AB 至点 H,使 BH＝CD,再证明AH＝EF 即可． A B C D E F 图① GE F 图② A HB 图③ 【例２】如图,已知AC∥BD,AE,BE 分 别平分∠CAB 和∠DBA,点E 在直线 CD 上． 求证:AB＝AC＋BD． C E D BA 思路分析 知条件　结论中出现AB＝AC＋BD, 在AB,AC,BD 三条线段中 AB 最长． 套模型　方法１(截长法):在“和线段” AB 上 截 取AF＝AC,再 证 BF＝BD; 方法２(补短法):延长AC 到点 F,使 AF＝AB,再 证 CF＝ DB． 证明 方法１(截长法):如图①,在AB 上 截取AF＝AC,连接EF． 在△ACE 和△AFE 中, AC＝AF, ∠１＝∠２, AE＝AE, ì î í ï ï ï ï 所以△ACE≌△AFE(SAS)． 数学　八年级　上册 ８６　 0   0 所以∠C＝∠５． 因为AC∥BD, 所以∠C＋∠D＝１８０°． 因为∠５＋∠６＝１８０°, 所以∠D＝∠６． 在△BEF 和△BED 中, ∠６＝∠D, ∠３＝∠４, BE＝BE, ì î í ï ï ï ï 所以△BEF≌△BED(AAS)． 所以BF＝BD． 所以 AF＋BF＝AC＋BD,即 AB＝ AC＋BD． 图① 　 图② 方法２(补短法):如图②,延长AC 至 点F,使AF＝AB,连接EF． 在△AEF 和△AEB 中, AF＝AB, ∠１＝∠２, AE＝AE, ì î í ï ï ï ï 所以△AEF≌△AEB(SAS)． 所以EF＝EB,∠F＝∠３． 又因为∠３＝∠４,所以∠F＝∠４． 因为AC∥BD,所以∠５＝∠D． 在△CEF 和△DEB 中, ∠F＝∠４, ∠５＝∠D, EF＝EB, ì î í ï ï ï ï 所以△CEF≌△DEB(AAS)． 所以CF＝DB． 因为AB＝AF＝AC＋CF, 所以AB＝AC＋BD． 模型三　一线三等角模型 １．一线三等角模型是一个常见的模型,两 个相等角的一边在同一条直线上,另一 边在该直线的同侧或异侧,第三个与之 相等的角的顶点在这两个相等角的顶 点所确定的线段或线段延长线上,两边 分别位于这条直线的同侧或异侧,且与 两相等的角的两边相交(一直线上有