第十一章 模型专题 与多边形、角平分线有关的解题模型-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十一章　三角形 ４３　 模型专题 模型一　折叠模型 １．折叠是把多边形的一部分沿一条直线 对折,得到位置不同的能完全重合的图 形． 折叠模型的出题点多为证明角或线段 相等,或根据条件求角度或线段长度． ２．解题思路:折叠问题主要利用折叠前后 图形完全重合的性质,找出相等的角、 线段,结合已知解决问题． ３．模型类型:如图①②所示． A D E CB A′1 2 图① 　　 A D E CB A′ 1 2 图② 【例１】如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠, 当点C 落在四边形ABDE 的外部时, 此时测得∠１＝１０８°,∠C＝３５°,则∠２ 的度数为 (　　) 1 2 B A C′ C D E A．３５° B．３６° C．３７° D．３８° 思路分析 知条件　△DC′E 是由△DCE 折叠得 到的． 套模型　找出折叠前后两个三角形相 等的角． 解析 方法１:如图,设C′D 与AC 交于 点O, 因为∠C＝３５°,所以∠C′＝∠C＝３５°． 因为∠１＝∠DOC＋∠C,∠１＝１０８°, 所以∠DOC＝∠１－∠C＝１０８°－３５°＝７３°． 因为∠DOC＝∠２＋∠C′, 所以∠２＝∠DOC－∠C′＝７３°－３５°＝ ３８°． O 1 2 B A C′ C D E 方法２:因为∠C＝３５°, 所以∠C′＝∠C＝３５°． 因为∠１＝１０８°,所以∠C′DC＝７２°, 所以∠C′DE＝∠CDE＝３６°, 所以∠DEC＝１８０°－３６°－３５°＝１０９°, 所以∠DEA＝７１°． 因为∠DEC′＝∠DEC＝１０９°, 所以∠２＝∠DEC′－∠DEA＝１０９°－ ７１°＝３８°． 答案 D 数学　八年级　上册 ４４　 【例２】如图①②所示,在三角形纸片ABC 中,点 D,E 分别在边AC,AB 上,沿 DE 折叠,点A 落在点A′的位置． (１)如图①,当点A′落在CD 边上时, 请判断∠DAE 与∠１之间的数量关 系,并说明理由; (２)如图②,当点A 落在△ABC 内部 时,请判断∠DAE 与∠１,∠２之间的 数量关系,并说明理由． D A E B C A′ 1 图① 　 D A E B C A′ 1 2 图② 思路分析 知条件　△DA′E 是由 △DAE 折叠 得到的． 套模型　找出折叠前后两个三角形相 等的角． 解 (１)∠１＝２∠DAE,理由如下: 因为∠DAE＝∠DA′E, 所以∠１＝∠EAD＋∠EA′D＝２∠DAE． (２)∠１＋∠２＝２∠DAE,理由如下: 如图所示,连接AA′． D A E B C A′ 1 2 因为∠EAD＝∠EA′D, ∠１＝∠A′AE＋∠AA′E, ∠２＝∠A′AD＋∠AA′D, 所以∠１＋∠２＝∠A′AE＋∠A′AD＋ ∠AA′E＋∠AA′D ＝∠EAD＋∠EA′D＝２∠DAE． 模型二　两角平分线的夹角模型 １．两角平分线的夹角是指多边形的两内 角的平分线的夹角、一个内角和一个外 角的平分线的夹角、两外角的平分线的 夹角三种情况． 该模型的出题点一般为求夹角的度数． ２．解题思路:根据多边形的内角和定理、 三角形外角的性质解决问题． ３．模型类型:如下图所示． A B C O ∠O＝９０°＋ １ ２∠A 　　　 A B C O D ∠O＝ １ ２∠A A B C O D E ∠O＝９０°－ １ ２∠A 【例３】如图,在△ABC 中,∠A＝４８°,点 I是∠ABC,∠ACB 的平分线的交点． (１)∠BIC＝　　　　． (２)若点D 是两条外角平分线的交点, 则∠BDC＝　　　　． (３)若 点 E 是 内 角 ∠ABC、外 角 ∠ACG 的平分线的交点,则∠BEC＝ 　　　　． 第十一章　三角形 ４５　 (４)在问题(３)的条件下,当∠ACB 的度 数为多少时,CE∥AB? 请说明理由． D E A B H C G I 思路分析 知条件　在△ABC 中,∠BAC＝４８°, 点I是∠ABC,∠ACB 的平 分线的交点． 套模型　根据两角平分线的夹角模型 求解． 解 (１)方法１:由模型可知∠BIC＝９０°＋ １ ２∠A＝９０°＋２４°＝１１４°． 方法２:因为∠A＝４８°, 所以∠ABC＋∠ACB＝１８０°－４８°＝ １３２°． 因为点I 是∠ABC,∠ACB 的平分线 的交点, 所以 ∠IBC＋ ∠ICB＝ １ ２ (∠ABC＋ ∠ACB)＝６６°, 所以∠BIC＝１８０°－６６°＝１１４°． 故填１１４°． (２)方法１:由模型可知∠BDC＝９０°－ １ ２∠A＝９０°－２４°＝６６°． 方法２:因为 BE,BD 分别为∠ABC 和∠HBC 的平分线, 所以∠DBI＝∠DBC＋∠IBC＝９０°, 同理∠DCI＝９０°, 所以∠BDC＋∠BIC＝１８０°, 所以∠BDC＝１８０°－１１４°＝６６°