11.1.2 三角形的高、中线与角平分线＆11.1.3 三角形的稳定性-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十一章　三角形 １１　 １１．１．２　三角形的高、中线与角平分线 １１．１．３　三角形的稳定性 􀅰了解三角形的高、中线及角平分线的概念． 􀅰会用工具准确画出三角形的高、中线及角平分线． 􀅰了解三角形的稳定性及其在实际生活中的应用． 知识点一　三角形的高 １．概念  
   概念 示例 从三角形的一个顶 点向它所对的边所 在直线作的垂线段, 是三角形的高 线段AD 是△ABC 的边BC 上的高 ２．三角形高的画法 关键:找准顶点和对边． 步骤:一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上); 二找(紧沿要作高的边移动三角尺,使三角尺的另一 条直角边经过该边所对的顶点); 三画线(画垂线段)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:作钝角三角形中钝角所在两边上的高,要先把 这两条边延长再作高,如图所示． 不同三角形高(或高所在 直线)的交点的位置 　 　 　 　　三角形的三条高所在直 线交于一点,这一点被称为这 个三角形的垂心． 数学　八年级　上册 １２　 虽然经过三角形的顶点，但不垂 直于对边． 　　要注意三角形的中线是 线段,它是有长度的,不要误 认为是射线或直线． 　　(１)重心到顶点的距离等 于重心到对边中点的距离的 ２倍; 　　(２)重心和三角形３个顶 点组成的３个三角形面积相等． 【例１】下列图形中,△ABC 的高的画法错误的是(　　) A 　　 B 　　 C 　　 D 解析 A选项,图中所画的是△ABC 的边BC 上的高, 画法 正 确,不 符 合 题 意;B 选 项,图 中 所 画 的 不 是 △ABC 的高,画法错误,符合题意;C选项,图中所画 的是△ABC 的边AC 上的高,画法正确,不符合题 意;D 选项,图中所画的是△ABC 的边AB 上的高, 画法正确,不符合题意． 答案 B 　判断三角形高的两个条件 　　(１)过顶点:三角形的高必须过三角形的一个顶点; 　　(２)看垂足:垂足在顶点的对边或对边的延长线上． 知识点二　三角形的中线 １．三角形的中线 概念 图示 描述方法 位置 连接三 角形一 个顶点 和它对 边中点 的线段 线段AD 是边BC 上的中线 点D 是边BC 上的中点 BD＝CD＝ １ ２BC (或BC＝ ２BD＝２CD) 三条 中线 都在 三角 形内 部 ２．三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 【例２】如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,△ABD 的周长比 △ADC 的周长多２,且AB 与AC 的和为１０． (１)求AB,AC 的长; (２)求边BC 的取值范围． 第十一章　三角形 １３　 　解 (１)因为AD 是边BC 上的中线, 所以BD＝CD,→中线定义  所以(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－ AC＝２． ① 由题意,知AB＋AC＝１０, ② ①＋②,得２AB＝１２,解得AB＝６, ②－①,得２AC＝８,解得AC＝４, 所以AB＝６,AC＝４． (２)因为AB＝６,AC＝４． 所以２＜BC＜１０．→三角形的三边关系 知识点三　三角形的角平分线 概念 图示 描述方法 位置 三角形 一个内 角的平 分线与 对边交 点间的 线段 线段 AD 是 △ABC 的角平分线 AD 平分∠BAC ∠１＝∠２＝ １ ２∠BAC (或∠BAC＝２∠１＝ ２∠２) 三条角 平分线 都在三 角形内 部　　 【例３】如图,在△ABC 中,CE 平分∠ACB,∠１＝∠２, 若∠ACE＝２３°,求∠EDC 的度数． 解 因为CE 平分∠ACB,∠ACE＝２３°,  所以∠１＝∠ACE＝２３°,∠ACB＝２∠ACE＝４６°． 因为∠１＝∠２,所以∠ACE＝∠２, 所以DE∥AC, 所以∠ACB＋∠EDC＝１８０°, 所以∠EDC＝１８０°－４６°＝１３４°． 三角形中线的三个重要结论 　　若AD 为边BC 上的 中 线,则 边 相 等:BD ＝ CD＝ １ ２BC ;面 积 相 等: S△ABD＝S△ACD ＝ １ ２S△ABC ; 周 长 关 系:△ABD 与 △ACD 的周长之差实质 为AB 与AC 的差． 三角形的角平分线的特征 　　(１)三角形的角平分线把 三角形的一个内角分成两个 相等的角,一般和三角形中角 的计算相关联; 　　(２)任何三角形都有三条 角平分线,这三条角平分线相 交于一