第三章 方法专题 设未知数的方法-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（人教版)

第三章　一元一次方程 １５７　 方法专题 列方程解应用题设未知数的方法有: 直接设未知数,间接设未知数,设辅助 未知数等． １．直接设未知数 题目问什么,就直接设什么． 目的:根据数量关系构造出方程,将分 散的条件集中到一个方程中． 【例１】甲、乙两地相距３km,小王从甲地 出发步行到乙地,小李从乙地出发步 行到甲地．两人同时出发,２０min后两 人相遇．已知小王步行的速度比小李步 行的速度每小时快１km,求两人步行 的速度． 思路分析 知条件　甲、乙两地相距３km,小李、 小王两人同时出发,相向而 行,２０min后两人相遇,且小 王步行的速度比小李步行的 速度每小时快１km． 明方法　设小李步行的速度为xkm/h． 根据“速度×时间＝路程”得 出方程解答即可． 解２０min＝ １ ３h． 设小李步行的速度为xkm/h． 根据题意,得１ ３ (x＋x＋１)＝３． 解得x＝４． 小王步行的速度为４＋１＝５(km/h)． 答:小李步行的速度为４km/h,小王步 行的速度为５km/h． ２．间接设未知数 就是选取一个与问题有关的量设为未 知数,再通过这个未知数求出题目中要 求的量． 目的:间接构造关于其他量的方程,使 求解过程简化． 【例２】张琳的妈妈买了苹果、梨、柚子和 橘子四种水果共１００个．如果把苹果的 个数加上４,梨的个数减去４,柚子的个 数乘４,橘子的个数除以４,那么四种水 果的个数相等．问原来四种水果各有多 少个? 思路分析 知条件　苹果、梨、柚子和橘子四种水 果共１００个．如果把苹果的个 数加上４,梨的个数减去４, 柚子的个数乘４,橘子的个数 除以４,那么四种水果的个数 相等． 明方法　设变化后的四种水果的个数 都为x．根据每种水果变化情 况,得到各种水果原来数量 的式子,列出方程解答即可． 解 设变化后的四种水果的个数都为x, 则苹果、梨、柚子和橘子原来的个数分 数学　七年级　上册 １５８　 别是x－４,x＋４, x ４ ,４x． 根据题意,得 x－４＋x＋４＋ x ４＋４x＝１００． 解得x＝１６． 因此苹果原来的个数是x－４＝１２, 梨原来的个数是x＋４＝２０, 柚子原来的个数是 x ４＝４ , 橘子原来的个数是４x＝６４． 答:原来苹果有１２个,梨有２０个,柚子 有４个,橘子有６４个． ３．设辅助未知数 当题目中数量关系不明显,或已知条件较 少,列方程困难时,可增设一些辅助未知 数,更容易列方程．这些未知数不一定要 求出,而是在解题过程中将被消去． 目的:构造出方程,以简化求解,且便于 理解． 【例３】某人沿河游泳逆流而上,途中不 慎将水壶掉落,水壶沿河水漂流而下, １０min后此人发现并立即返身回游, 则此人回游多少分钟可以追上水壶? 思路分析 知条件　某人沿河游泳逆流而上,水 壶掉落并沿河水漂流而下, １０min 后 此 人 发 现 并 立 即 返身回游． 明方法　根据人顺水游泳追水壶的路 程－ 水 壶 掉 落 １０ min 后 到 人追上时漂流的距离＝水壶 掉落１０min时与人的距离, 列出方程． 解 设水流速度为a m/min,此人回游 y min可以追上水壶,人在静水中的速 度为x m/min,则人在逆水中的速度 为(x－a)m/min． 由题设,知水壶掉落１０min时与人的 距离为[１０a＋１０(x－a)]m,人追水壶 的速度为顺水速度(x＋a)m/min,水 壶漂流而下的速度为a m/min,此时 人与水壶漂流的方向相同． 根据题意,得(x＋a)y－ay＝１０a＋ １０(x－a)． 解得y＝１０． 答:此人回游１０min可以追上水壶．