第07讲 圆的一般方程-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第07讲 圆的一般方程 1．回顾确定圆的几何要素． 2．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 知识点一 圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程． 知识点二 圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 ． 考点一：圆的一般方程的辨析 例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【总结】 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 变式 已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0． 求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上． 考点二：求圆的一般方程 例2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆一般的方程． 【总结】 利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r； (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F． 变式 过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________． 考点三：与圆有关的轨迹方程问题 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并指明动点M运动的轨迹是什么图形． 【总结】 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．这种求轨迹方程的方法不需要特殊的技巧； (2)代入法： 变式 平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0，λ≠1)的动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆．已知A(0,0)，B(3，0)，|PA|＝·|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为(　　) A．2π B．4π C．π D．π 1．圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　　) A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1) C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1) 2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 3．(多选)已知方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0，若方程表示圆，则a的值可能为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 4．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心到直线y＝－x的距离为________． 5．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程． 1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　) A．(1，－1) B． C．(－1,2) D． 2．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3y＝0 B．x2＋y2＋2x－3y＝0 C．x2＋y2－2x＋3y＝0 D．x2＋y2＋2x＋3y＝0 3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 6．(多选)已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆 B．当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆 C．当a＝0时，表示的圆的半径为2 D．当a＝3时，表示的圆与y轴相切 7．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有(　　) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对