第1章小专题1 与正方形有关的常考题型-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

志 学有鸿鹄志展翅任翱翔 《名师测控》 北师版一九年级上册数学 g击 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 Hubei honghuzhi Culture and Media.,LTD 鸡志 小专题一与正方形有关的常考题型 学有鸿鹄志展翅任翱翔 类型①正方形中相交垂直问题 志 1.(教材P21例1变式)如图，在正方形ABCD 中，E,F分别在BC,CD上，BE=CF,AE与 BF之间有怎样的关系？请说明理由. F C 0 E B 学有鸿鹅志展翅任翱翔 志 类型② 正方形中过对角线交点的垂直 问题 2.（教材Ps习题T4变式)如图，正方形ABCD 的对角线AC和BD相交于点O,O又是正 方形A1BCO的一个顶点，OA交AB于点 E,OC1交BC于点F. A E B B. 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 (1)求证：△AOE2△BOF; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方 形A1B1CO绕O点转动，两个正方形重 叠部分的面积等于多少？为什么？ A E B B 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 解：(1).四边形ABCD和四 A 边形A,BCO是正方形， E .∴.AO=BO,∠AOB=∠AC =90°，∠OAB=∠OBC=45°， B B ∴.∠AOE+∠EOB=90°， ∠BOF+∠EOB=90°， .∴.∠AOE=∠BOF. .∴.△AOE≌△BOF(ASA); 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 (2)两个正方形重叠部分的面积等于：，理由如 下：.△AOE≌△BOF,∴.S△E=S△or, ∴.S四边形EBr=S△HB十SAHF=S△HB十S△NE 4 A E B B 学有鸿鹅志展翅任翱翔 志 类型③ 正方形中的“外角平分线”问题 3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边 BC上任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方 形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF, B E 学有鸿鹅志展翅任翱翔 志 证明：在AB上截取BM=BE,A 连接ME. M .四边形ABCD是正方形， B ∴.∠B=∠DCB=90°，AB=BC, .∴.∠BME=∠BEM=45°， ,∴.∠AME=135. ,CF是正方形外角的平分线， ∴.∠DCF=45°，∴.∠ECF=135. .∠AEF=90°，∴.∠AEB+∠FEC=90°. 又.'∠AEB+∠MAE=90°，∴.∠MAE=∠FEC. .'AB=BC,BM=BE,.'.AM=EC. .∴.△AME≌△ECF(ASA),.∴.AE=EF. 学有鸿鹅志展翅任翱翔 鸡志 类型④ 正方形中的半角问题 4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且∠(E=45°，则GE= BE十GD成立吗？为什么？ E B 学有鸿鹅志展翅任翱翔