第15讲 函数的单调性-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第15讲 函数的单调性 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 2．理解单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 知识点一 增函数、减函数的概念 1．设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. (1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是增函数(图①)，I称为y＝f(x)的增区间； (2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是减函数(图②)，I称为y＝f(x)的减区间． 2．对函数单调性的再理解 (1)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝它的定义域为R，但不具有单调性； (2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数． 如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性． 知识点二 函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间． 知识点三 函数的最大(小)值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A. (1)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)； (2)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0). 考点一：充分条件、必要条件的判断 例1 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 【总结】 利用定义证明函数单调性的4个步骤 变式 (多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 考点二：求函数的单调区间 例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 【总结】 求函数单调区间的2种方法 (1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； (2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． 变式 画出函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象，并指出函数的单调区间． 考点三：函数单调性的应用 例3 　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是_____； (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． 【总结】 函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围； (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 变式 （1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调增区间为(－∞，3]，求a的值． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围． （3）已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． 考点四：复合函数的单调性 例4 已知函数f(x)＝，x∈[2，6]. (1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤． 【总结】 一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”． g(x) f(x) f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 变式 求函数f(x)＝的单调区间． 考点五：利用函数的图象求最值 例5 函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2) B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 【总结】 用图象法求最值的3个步骤 考点六：利用单调性求函数的最值 例6 函数y＝2x＋的最小值为________． 【总结】 函数最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)； (2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间(b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)； (3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值． 变式 已知函数f(