第14讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第14讲 函数的表示方法 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．　 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识点一 函数的表示方法 1．列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． 2．解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法，这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式． 3．图象法：用图象表示两个函数之间函数关系的方法称为图象法． 4．函数的三种表示方法的优、缺点 知识点一 分段函数 1．分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 3．对分段函数的再理解 (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系； (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． 考点一：函数的表示法 例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【总结】 函数的三种表示方法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 变式 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________． 考点二：用待定系数法求函数解析式 例2 　已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)； 【总结】 待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，可直接设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 变式 已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x). 考点三：利用换元法(配凑法)求函数解析式 例3 　已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； 【总结】 已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的两种方法： (1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围； (2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． 变式 已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x). 考点四：用方程组法求函数解析式 例4 已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x). 【总结】 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 变式 已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)； 考点五：赋值法求函数的解析式 例5 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式． 【总结】 利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．赋值法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 变式 设f(x)是R上的函数，f(0)＝1，并且对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，求f(x). 考点六：分段函数求值问题 例6 已知函数f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(a)＝，求a的值． 【总结】 分段函数求值问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值； (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 变式 若函数f(x)＝则f(f(－3))＝________． 考点七：分段函数的图象及应用 例7 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域． (1)y＝(2)y＝ 【总结】 分段函数图象的画法