第13讲 函数的概念和图象-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第13讲 函数的概念和图象 　 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．　 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．　 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 知识点一 函数的有关概念 1．定义：给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 2．记法：y＝f(x)，x∈A. 3．定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域． 4．值域：若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 知识点二 同一个函数 由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数． 知识点三 函数的图象 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象． 2．作图、识图与用图 (1)画函数图象常用的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线； (2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－. 知识点四 函数图象的变换 1．函数图象的平移变换 函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子： 作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系． 在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示． 观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到． 由此得到如下规律： (1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”； (2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”． 2．函数图象的对称变换 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子： 作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系． 在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示． 观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到． 由此可得如下规律： 函数图象的对称变换包括以下内容： (1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到； (2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到； (3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到． 3．函数图象的翻折变换 函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系． 函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子： 作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系． 事实上，y＝|x2－2x－3|＝ y＝x2－2|x|－3＝ 在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图①②所示． 通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象． 由此可得如下规律： (1)要作y＝|f(x)|的图象