第12讲 对数-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第12讲 对数 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．　 3．能熟练用对数的运算性质进行化简求值． 知识点一 对数的概念与性质 1．对数的概念 一般地，如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．常用对数与自然对数 3．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数； (2)loga1＝0 (a＞0，且a≠1)； (3)logaa＝1 (a＞0，且a≠1)； (4)logaaN＝N (a＞0，a≠1，N＞0). 4．指数式与对数式的互化(其中a＞0，且a≠1). 知识点二 对数的运算性质 1．若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么： (1)loga(MN)＝； (2)loga＝； (3)logaM n＝． 2．对数运算中的常见公式及推广 (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为 loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 知识点二 换底公式 1．换底公式：（）. 2．换底公式的推论 =，=. 3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ 提示：=，=. 4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论=吗？ 提示：====. 考点一：指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)3－2＝；(2)＝16；(3)＝－3；(4) ＝－6. 【总结】 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 变式 将下列指数式与对数式互化． (1)log216＝4；(2) ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝. 考点二：对数的计算 例2 求下列各式中的x的值． (1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x. 【总结】 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂； (2)已知指数与幂，用指数式求底数； (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． 变式 求下列各式中x的值． (1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)x＝log27. 考点三：对数的性质 例3 　求下列各式中x的值． (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log3(log4(log5x))＝0. 【总结】 利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值； (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 变式 求下列各式中x的值． (1)log3(log4(log5x))＝1 (2)3log3(log4(log5x))＝1 考点四：对数的运算性质 例4 求下列各式的值． (1)log2(47×25)； (2)lg ； (3)lg 14－2 lg ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 【总结】 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 变式 已知ab＞0，有下列四个等式： ①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；③lg ＝lg ；④lg (ab)＝，其中正确的是________． 考点五：对数换底公式的应用 例5 计算：(1)log29·log34； (2). 【总结】 利用换底公式求值的思想与注意点 变式 若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　) A．9 B． C．25 D． 考点六：对数的综合应用 例6 已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示) 【总结】 求解与对数有关