第11讲 指数-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第11讲 指数 1．理解n次方根、根式的概念． 2．能正确运用根式运算性质化简求值． 3．通过对有理数指数幂a(a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 知识点一 n次方根与根式 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 性质 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为 a<0 x在实数范围内不存在 2．根式 (1)定义：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数； (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝； ② ＝ 3．与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a， 当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 知识点一 指数幂的拓展 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝ (a＞0，m，n均为正整数) 负分数 指数幂 规定：＝＝(a＞0，m，n均为正整数) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义 2．指数幂的运算性质 (1)asat＝as＋t(a＞0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝ast(a＞0，s，t∈Q)； (3)(ab)t＝atbt(a＞0，b＞0，t∈Q). 3．无理数指数幂 一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用． 4．实数指数幂中底数的取值范围 幂指数 定义 底数的取值范围 整数指数 正整数指数 an＝ (n∈N*) a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数指数 ＝(n∈N*) a≠0且a∈R 有理数指数 正分数指数 a＝(m，n∈N*，且m，n互质) n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 ＝(m，n∈N*，且m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R 无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 考点一：根式的概念 例1 (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________； (2)已知x7＝6，则x＝________； 【总结】 判断关于n次方根的结论的注意点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号． 变式 (多选)下列说法正确的是(　　) A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 考点二：利用根式的性质化简与求值 例2 化简与求值． (1) ； (2) (3) ； (4) ＋. 【总结】 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数． 变式 计算： ＋4＝________． 考点三：带条件的根式的化简 例3 　化简 － (－3<x<3). 【总结】 带条件根式的化简的一般方法 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 变式 当有意义时，化简－的结果是(　　) A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 考点四：根式与分数指数幂的互化 例4 用根式或分数指数幂表示下列各式：， (a＞0)，，(a＞0), (a＞0). 【总结】 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 变式 (多选)下列结论中正确的有(　　) A．＝ B．＝ C．当a＞0时，(ar)s＝(as)r D．＝ 考点五：指数幂的运算 例5 计算下列各式． (1)＋2－2×－0.010.5； (2) －＋＋16－0.75. 【总