第二章 一元二次方程 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第二章　一元二次方程 ９１　 0  0 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 专题一　一元二次方程及根的概念 １．一元二次方程满足的三个条件 ①整式方程; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是２． ２．一元二次方程的项的系数包括它前面 的符号,二次项系数不为０,一次项系 数和常数项可以为０． ３．根能使方程左右两边相等,已知一个 根,可代入确定方程中的字母系数． 【例１】若关于x的方程(m－２)xm２＋２m－６＋ mx－m－２＝０为一元二次方程,求m 的值,并解这个一元二次方程． 解 因为关于x的方程(m－２)xm２＋２m－６＋ 数学　九年级　上册 ９２　 0  0 mx－m－２＝０为一元二次方程, 所以m２＋２m－６＝２,且m－２≠０, 解得m＝－４, 所以原方程可化为３x２＋２x－１＝０, 解得x＝ －２± ４＋４×３×１ ６ , 所以x１＝ １ ３ ,x２＝－１． 4 　　解答与一元二次方程的定义有关 的问题时,一定不能忽视二次项系数 不能为零这个条件,否则会扩大未知 字母取值范围而出现错误． 专题二　一元二次方程的解法 　　一元二次方程的解法是本章的基础 内容,也是历年中考的重点．解一元二次 方程的基本思想是降次,主要有四种解 法:直接开平方法、配方法、公式法、因式 分解法．若没有特别说明,选择解法的基 本顺序是直接开平方法、因式分解法、公 式法、配方法．若题目有明确的解法要求, 如“用配方法解一元二次方程”,就必须 按照题目要求去做． 【例２】用适当的方法解下列方程: (１)０．４y２＋０．８y－１＝０; (２)４(x－２)２－(３x－１)２＝０; (３)２x２－x－６＝０; (４)２x２＋１＝３x(用配方法解方程)． 解 (１)原方程可变形为２y２＋４y－５＝０, 这里a＝２,b＝４,c＝－５, 所以Δ＝b２－４ac＝１６－４×２×(－５)＝ １６＋４０＝５６＞０． 所以x＝ －b± b２－４ac ２a ＝ －４± ５６ ４ ＝ －２± １４ ２ ． 所以x１＝ －２＋ １４ ２ ,x２＝ －２－ １４ ２ ． (２)[２(x－２)＋(３x－１)][２(x－２)－ (３x－１)]＝０, (５x－５)(－x－３)＝０, 所以５x－５＝０或－x－３＝０． 所以x１＝１,x２＝－３． (３)原方程化为(２x＋３)(x－２)＝０． 所以２x＋３＝０或x－２＝０． 所以x１＝－ ３ ２ ,x２＝２． (４)移项,得２x２－３x＝－１, 二次项系数化为１,得x２－ ３ ２x＝－ １ ２ , 配方,得x２－２× ３ ４x＋( ３ ４) ２ ＝－ １ ２＋ ９ １６ , 所以 (x－ ３ ４) ２ ＝ １ １６． 所以x－ ３ ４＝± １ ４． 所以x＝ ３ ４± １ ４． 所以x１＝１,x２＝ １ ２． 4 　　解一元二次方程时,先观察方程 的特点,对于没有指定解法的,根据特 点灵活地选择较为简便的方法;对于 有要求的必须按照要求解答． 第二章　一元二次方程 ９３　 0  0 专题三　一元二次方程根的判别式 　　一元二次方程根的判别式是中考的 热点内容,它主要有两个应用:一是利用 判别式的符号判断方程根的情况;二是 根据方程根的情况,确定方程中字母参 数的取值(范围)． 【例３】已知关于x的一元二次方程mx２－ (m＋１)x＋１＝０(m≠０)． (１)求证:此方程总有实数根; (２)写出一个m 的值,使得此方程的一 个实数根大于１,并求此时方程的根． (１)证明 因为a＝m,b＝ －(m ＋１), c＝１, 所以Δ＝b２－４ac＝[－(m＋１)]２－ ４m×１＝m２ ＋２m ＋１－４m ＝m２ － ２m＋１＝(m－１)２． 因为(m－１)２≥０, 所以Δ≥０, 所以此方程总有实数根． (２)解 因为mx２－(m＋１)x＋１＝０, 所以(mx－１)(x－１)＝０, 所以x１＝ １ m ,x２＝１． 又因为该方程的一个实数根大于１, 所以 １ m＞１ , 所以０＜m＜１, 所以当m＝ １ ２ (答案不唯一)时,该方程 的一个实数根大于１,此时方程的解为 x１＝ １ m＝２ ,x２＝１． 4 　　解答与根的判别式有关的问题, 一般先说明判别式的值不小于零,或 者根据判别式列出方程(或不等式), 通过解方程(或不等式)确定字母的值 (或确定字母的取值范围),再根据要 求解答其他问题． 专题四　 一元二次方程的根与系数 的关系 　　一元二次方程的根与系数的关系是 中考命题的重要内容,利用一元二次方 程的根与系数的关系可解决以下几类常 见问题: ①已知一元二次方程的一个根,可求另 一个根; ②已知两根,可写出这个一元二次方程; ③求与方程两根有关的代数式的值; ④与根的判别式结合起来,可求解方程、 判断两根