第七章 平行线的证明 模型专题-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 ２４４　 0  0 模型专题 模型一　凹型平行线 凹型平行线是指两条平行线被两条折线 连接,构造为凹型的形状．解题时,通常需 要过折线的交点作平行线帮助解答． 【例１】已知:如图所示,AB∥CD． 求证:∠A＋∠C＝∠E． B E D A C 思路分析 知条件　AB∥CD． 套模型　利用凹型平行线解答． 证明 如图所示,过点E 作EF∥AB． B E D A C F 因为EF∥AB,AB∥CD, 所以AB∥EF∥CD． 所以∠A＝∠AEF,∠C＝∠CEF． 所以∠A＋∠C＝∠AEF＋∠CEF＝ ∠AEC． 模型二　凸型平行线 凸型平行线是指两条平行线被两条折线 连接,构造为凸型的形状．解题时,通常需 要过折线的交点作平行线帮助解答． 【例２】已知:如图所示,AB∥CD． 求证:∠A＋∠C＋∠E＝３６０°． B D A C E 思路分析 知条件　AB∥CD． 套模型　利用凸型平行线解答． 证明 如图所示,过点E 作EF∥AB． F B D A C E 因为EF∥AB,AB∥CD, 所以AB∥EF∥CD． 所 以 ∠A ＋ ∠AEF ＝１８０°,∠C ＋ ∠CEF＝１８０°． 所以∠A＋∠AEF＋∠C＋∠CEF＝３６０°, 即∠A＋∠C＋∠AEC＝３６０°． 模型三　“Z”型平行线 “Z”型平行线是指两条平行线被多条折 线连接,构造为“Z”型的形状．解题时,通 常需要添加辅助线帮助解答． 第七章　平行线的证明 ２４５　 0  0 【例３】已知:如图所示,AB∥CD． 求证:∠B＋∠F＝∠E＋∠C． BA E F C D 思路分析 知条件　AB∥CD． 套模型　利用“Z”型平行线解答． 证明 如 图 所 示,分 别 过 E,F 两 点 作 EG∥AB,FH∥AB． BA E F C D G H 因为AB∥CD,EG∥AB,FH∥AB, 所以AB∥EG∥FH∥CD, 所以∠B＝∠BEG,∠EFH ＝∠GEF, ∠HFC＝∠C, 所以∠B＋∠EFH＋∠HFC＝∠BEG＋ ∠GEF＋∠C, 所以∠B＋∠EFC＝∠BEF＋∠C． 模型四　两角平分线的交角模型 (１)如图①,若点P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点,则∠P＝９０°＋ １ ２∠A ; (２)如 图 ②,若 点 P 是 外 角 ∠CBF 和 ∠BCE 的平分线的交点,则∠P＝９０°－ １ ２∠A ; (３)如 图 ③,若 点 P 是 ∠ABC 和 外 角 ∠ACE 的平分线的交点,则∠P＝ １ ２∠A． B C P A 图① 　　 E C A B F P 图② C E A B P 图③ 【例４】好学的小红在学完三角形的角平 分线后,遇到下列问题,请你帮她解决． 如图,在△ABC 中,∠BAC＝４８°,点I 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点． (１)∠BIC 的度数为　　　　． (２)若点D 是两外角平分线的交点,则 ∠BDC 的度数为　　　　． (３)若 点 E 是 内 角 ∠ABC、外 角 ∠ACG 的平分线的交点,则∠BEC 的 度数为　　　　． (４)在问题(３)的条件下,当∠ACB 等 于多少度时,CE∥AB? 请说明理由． E A GC D B I 数学　八年级　上册 ２４６　 0  0 思路分析 知条件　在△ABC 中,∠BAC＝４８°, 点I 是∠ABC 和∠ACB 的 平分线的交点． 套模型　根据两角平分线的夹角模型 求解． 解 (１)解法一 由模型可知,∠BIC＝ ９０°＋ １ ２∠A＝９０°＋２４°＝１１４°． 解法二 因为∠A＝４８°, 所以∠ABC＋∠ACB＝１８０°－４８°＝１３２°． 因为点I 是∠ABC 和∠ACB 的平分 线的交点, 所以 ∠IBC＋ ∠ICB＝ １ ２ (∠ABC＋ ∠ACB)＝６６°, 所以∠BIC＝１８０°－６６°＝１１４°． 故答案为:１１４°． (２)解法一 由模型可知,∠BDC＝ ９０°－ １ ２∠A＝９０°－２４°＝６６°． 解法二 因 为 BE 为 ∠ABC 的 平 分 线,BD 为外角的平分线, 所以∠DBI＝∠DBC＋∠IBC＝９０°． 同理∠DCI＝９０°． 所以∠BDC＋∠BIC＝１８０°． 所以∠BDC＝１８０°－１１４°＝６６°． 故答案为:６６°． (３)解法一 由模型可知,∠BEC＝ １ ２∠A＝２４°． 解法二 由(２)的解法二知,在△BDE 中,∠DBE＝９０°, 所以 ∠BEC＝９０°－ ∠BDC＝９０°－ ６６°＝２４°． 故答案为:２４°． (４)因为CE∥AB, 所以∠ECA＝∠A＝４８°, 所以∠ABC＝∠ECG＝∠ECA＝４８°, 所以∠ACB＝１８０°－４８°－４８°＝８４°． 所以当∠ACB＝８４°时,CE∥AB． 模型五　角平分线和高线的夹