第二章 实数 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

第二章　实　数 ７１　 0  0 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　八年级　上册 ７２　 0  0 专题一　 平方根、算术平方根、立方 根的概念与性质 １．开方运算的两点注意 (１)正数的两个平方根互为相反数,且 其算术平方根为正数; (２)立 方 根 的 符 号 与 被 开 方 数 符 号 相同． ２．确定代数式中字母的取值范围的三种 类型 (１)二次根式:被开方数为非负数; (２)分母中含有字母:分母不为０; (３)０指数幂:底数不等于０． 【例１】若一个正数a的两个平方根分别为 ２x＋１和１－３x,试求(a＋ ６)(a－ ６)的值． 解 因为正数a 的两个 平 方 根 分 别 为 ２x＋１和１－３x, 所以２x＋１＋１－３x＝０． 解得x＝２． 所以a＝(２×２＋１)２＝２５． 所以(a＋ ６)(a － ６)＝a－６＝ ２５－６＝１９． 4 　　一个正数的两个平方根互为相反 数,这是经常用来列方程的一种常用 的方法．求一个正数的平方根时,需要 先确定是求哪一个正数的平方根,再 看哪两个数的平方等于这个正数,从 而确定这个正数的平方根． 专题二　实数 １．实数的分类 (１)实数在分类时,应先将原数化简,再 进行分类; (２)有理数包括整数和分数; (３)无限不循环小数是无理数． ２．实数的性质 相反数、绝对值、倒数的概念及运算律 同有理数一样． ３．常见的实数比较大小的方法 (１)平方法; (２)估算法; (３)作差法． 【例２】比较大小:１５＋ ３与 １３＋ ５． 思路分析 两个数都含有根号,且不能合 并,但被开方数的和相同,可以将两个 数先进行平方再比较． 解 (１５＋ ３)２＝１８＋２ ４５, (１３＋ ５)２＝１８＋２ ６５． 因为２ ４５＜２ ６５, 所以 １５＋ ３＜ １３＋ ５． 4 　　两个实数比较大小,首先要观察 两个数的结构特点,最常用的方法是 作差法,对 两 个 数 的 符 号 没 有 限 制; 运用作商法、平方等都需要考虑数的 正负． 第二章　实　数 ７３　 0  0 专题三　实数与数轴 　　数轴的三大作用: (１)根据点在数轴上的位置判断所表 示实数的符号,在原点的左侧为负数, 在原点的右侧为正数; (２)根据点在数轴上的位置判断所表 示实数的绝对值的大小,离原点远的 绝对值大,离原点近的绝对值小; (３)根据点在数轴上的位置比较实数 的大小,右边的点表示的数总大于左 边的点表示的数． 【例３】如图,一只蚂蚁从点A 沿数轴向 右爬２个单位长度到达点B,点A 表 示－ ２,设点B 所表示的数为m． (１)求m 的值; (２)求|m－１|＋(m＋６)０的值． 解 (１)由题意可知,点A 和点B 的距离 为２,点A 表示的数为－ ２,因此点B 表示的数为m＝２－ ２． (２)把m 的值代入|m－１|＋(m＋６)０, 得|m－１|＋(m＋６)０ ＝|２－ ２－１|＋(２－ ２＋６)０ ＝|１－ ２|＋(８－ ２)０ ＝ ２－１＋１ ＝ ２． 4 　　数轴上的点移动后,其表示的数a 的大小随之发生改变,要掌握其变化的规 律:右加左减,即向右移动b个单位长度, 此时表示的数为a＋b,向左移动b个单 位长度,此时表示的数为a－b． 专题四　二次根式及其运算 　　依据定义可知,形如 a的式子叫做 二次根式,被开方数a≥０．理解二次根式 的运算法则需要运用类比的数学方法, 二次根式的加减法类似于整式的加减 法,二次根式的乘除法类似于分数的乘 除法,其乘方、开方运算类似于有理数的 运算,运算时要注意符号问题． 【例４】(１)计算:( １ ３ ) －１ －(２２２＋ ６)０＋ (－２)２× １ １６＋ １ ２－１ ; (２)先化简,再求值:(－x２＋３－７x)＋ (５x－７＋２x２),其中x＝ ５＋１． 解 (１)( １ ３ ) －１ －(２２２＋ ６)０＋(－２)２× １ １６＋ １ ２－１ ＝３－１＋４× １ ４＋ ２＋１ ＝４＋ ２． (２)(－x２＋３－７x)＋(５x－７＋２x２) ＝x２－２x－４ ＝(x－１)２－５． 把x＝ ５＋１ 代 入 上 式,得 原 式 ＝ (５＋１－１)２－５＝０．