第二章 实数 方法专题-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

第二章　实　数 ６９　 0  0 方法专题 二次根式的运算常常用到实数运算的方 法和技巧,如换元法、配方法、巧用逆运 算、拆项与添项法等． １．换元法 当问题的结构过于复杂,难以直接发现 规律时,可以把其中某些部分看成一个 整体,用新字母代替(即换元),则能使 复杂的问题简单化,以便于发现解题 规律． 【例１】化简: ５＋ ２＋ ３ ４３＋２ ３０＋６２ ． 思路分析 知条件　分数线上下两部分的内容都 是与 ２,３,５相关的式子． 明方法　换元法． 解 设a＝ ２,b＝ ３,c＝ ５, 则 ３０＝ ２× ３× ５, 所以 ５＋ ２＋ ３ ４３＋２ ３０＋６２ ＝ c＋a＋b ２a２b＋２abc＋２b２a ＝ c＋a＋b ２ab(a＋c＋b)＝ １ ２ab ＝ １ ２× ２× ３ ＝ ６ １２． ２．配方法 在复合二次根式 a±mb(m＞０,a＞０, b＞０)中,若存在x＞０,y＞０,满足２xy＝ mb,x２＋y２＝a,则可以把被开方数写成 完全平方的形式,达到化简的目的． 【例２】一些含根号的式子可以写成另一 个式子的平方,如３＋２２＝(１＋ ２)２． 设a＋b ２＝(m＋n ２)２(其中a,b, m,n 均为正整数),则有a＋b ２＝ m２＋２n２ ＋２mn ２,所 以 a＝m２ ＋ ２n２,b＝２mn．这样可以把部分a＋b ２ 的式子化为完全平方的形式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题: (１)当a,b,m,n 均为正整数时,若a＋ b ３＝(m＋n ３)２,用含m,n 的式子 分 别 表 示 a,b,得 a ＝ , b＝ ． (２)利用所探索的结论,找一组正整数 a,b,m,n 填空: ＋ ５＝ ( ＋ ５)２． 思路分析 知条件　设a＋b ２＝(m＋n ２)２(其 中a,b,m,n 均为正整数), 则有a＋b ２＝m２＋２n２＋ ２mn ２,所 以a＝m２＋２n２, b＝２mn． 数学　八年级　上册 ７０　 0  0 明方法　配方法． 解析 (１)因为a＋b ３＝(m＋n ３)２＝ m２＋２mn ３＋３n２, 所以a＝m２＋３n２,b＝２mn． (２)设a＋b ５＝(m＋n ５)２, 则(m＋n ５)２＝m２＋２mn ５＋５n２, 所以a＝m２＋５n２,b＝２mn． 若令m＝１,n＝２,则a＝２１,b＝４． 答案 (１)m２＋３n２　２mn (２)２１　４　１　２(答案不唯一,合理 即可) ３．巧用逆运算 在部分化简题目中,若多项式的次数较 大,且不能直接运算时,则可考虑逆用 一些乘法公式进行化简． 【例３】化简:(６＋ ５)２０２１(６－ ５)２０２２． 思路分析 知条件　指数较大,且相差１． 明方法　巧用逆运算． 解 (６＋ ５)２０２１(６－ ５)２０２２ ＝[(６＋ ５)(６－ ５)]２０２１×(６－ ５) ＝(６－５)２０２１×(６－ ５) ＝１×(６－ ５) ＝ ６－ ５． ４．拆项与添项法 这是分解与组合思想在化简二次根式 中的具体应用．根据二次根式的特征, 适当地拆分或者添加一些项,达到消去 一些项的目的． 【例４】化简:(１) ７＋２６＋ ５ (７＋ ６)(６＋ ５) ; (２) ７－ ５ (７＋ ６)(６＋ ５) ． 思路分析 知条件　(１)分数线上面的式子可转 化成分数线下面式子中两个 因式的和的形式; (２)分数线上面的式子可转 化成分数线下面式子中两个 因式的差的形式． 明方法　(１)拆项法;(２)添项法． 解 (１) ７＋２６＋ ５ (７＋ ６)(６＋ ５) ＝ (７＋ ６)＋(６＋ ５) (７＋ ６)(６＋ ５) ＝ １ ６＋ ５ ＋ １ ７＋ ６ ＝ ６－ ５＋ ７－ ６ ＝ ７－ ５． (２) ７－ ５ (７＋ ６)(６＋ ５) ＝ (７＋ ６)－(６＋ ５) (７＋ ６)(６＋ ５) ＝ １ ６＋ ５ － １ ７＋ ６ ＝ ６－ ５－(７－ ６) ＝２６－ ５－ ７．