第一章 勾股定理 模型专题-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 ２２　 0  0 模型专题 模型一　直角三角形模型 １．直角三角形模型是指图形中存在直角 三角形,或者需要构造直角三角形,然 后可以运用勾股定理进行计算,或者运 用勾股定理的逆定理说明三角形的形 状,或者运用勾股定理的逆定理判断两 条直线是否垂直． ２．解题思路:题干中出现了直角三角形, 可直接运用勾股定理求解;若题干中没 有直角三角形,则要先作辅助线(垂线 段)构造出直角三角形,再运用勾股定 理的相关知识进行解答． ３．模型类型 (１)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝ ９０°,作CD⊥AB 于点D． (２)如图,在钝角三角形 ABC 中,作 CD⊥AB,交BA 的延长线于点D． (３)如图,在锐角三角形 ABC 中,作 CD⊥AB 于点D． 【例１】已知△ABC 中,AB＝AC,CD⊥ AB 于点D,以BC 为边在△ABC 外 作正方形BCEF．若AB＝１０,CD＝６, 求正方形BCEF 的面积． 思路分析 知条件　△ABC 中,AB＝AC,CD⊥ AB 于 点 D,以 BC 为 边 在 △ABC 外作正方形BCEF, AB＝１０,CD＝６． 套模型　在锐角三角形 ABC 中寻找 直角三角形． 解 因为 AB＝AC,CD ⊥AB 于点D, AB＝１０, 所以AC＝AB＝１０,∠ADC＝９０°． 设BD＝x,则AD＝１０－x． 在 Rt△ACD 中,因为 AC２＝CD２＋ AD２,AC＝１０,CD＝６, 第一章　勾股定理 ２３　 0  0 所以１０２＝６２＋(１０－x)２,解得x＝２, 即BD＝２． 所以 在 Rt△BCD 中,BC２ ＝CD２ ＋ BD２＝６２＋２２＝４０． 所以正方形BCEF 的面积为４０． 模型二　最短路线长模型 １．最短路线长问题一般是指将不在同一 平面上的两个点之间的最短路线长问 题转化为同一平面内的两个点之间的 距离问题的解题模型,或者是在某个平 面图形内部可以容纳某个图形的极限 值问题的解题模型． ２．解题方法:题干中出现了两点之间的最 短(最大)距离问题,一般需要转化到同 一平面内的直角三角形中,借助于勾股 定理进行解答． ３．模型类型 (１)圆柱———侧面上的两个点之间的最短 距离,以圆柱底面周长(或者其中的一部 分)和高作为直角边来构造直角三角形． (２)圆筒———将内部可以容纳的最大图 形转化到直角三角形中． (３)正方体———不同面上两个点之间的 最短距离可以转化到同一平面内的直 角三角形中． (４)长方体———不同面上两个点之间的 最短距离可以转化到同一平面内的直 角三角形中． (５)轴对称———圆筒内壁与外壁上各一 点,利用轴对称转化到同一个直角三角 形中． 【例２】一辆装满货物的卡车的高为２．５m, 宽为１．６m,要驶入上边是半圆,下边 是长方形的桥洞,如图所示,已知半圆 的直径为２m,长方形的另一条边长是 ２．３m． (１)此卡车是否能通过桥洞? 试说明 你的理由． (２)为了适应车流量的增加,先把桥洞 改为双行道,要使宽为１．２m,高为 数学　八年级　上册 ２４　 0  0 ２．８m 的卡车能安全通过,那么此桥洞 的宽至少增加到多少米? 思路分析 知条件 　 卡 车 的 高 为 ２．５ m,宽 为 １．６m,上边是半圆,下边是 长方形的桥洞,半圆的直径 为２m,长方形的另一条边 长是２．３m．(２)的条件是桥 洞改 为 双 行 道,要 使 宽 为 １．２m,高 为 ２．８ m 的 卡 车 能安全通过． 套模型　将内部可以容纳的最大图形 转化到直角三角形中． 解 (１)如图所示,MN 为卡车的宽度,过 M,N 作AB 的垂线分别交半圆于点 C,D,过点O 作OE⊥CD,E 为垂足, 连接OC． 由题意知 CD ＝MN ＝１．６ m,AB＝ ２m． 由作法得,CE＝DE＝０．８ m,OC＝ OA＝１m． 在Rt△OCE 中,OE２＝OC２－CE２, 所以OE＝０．６m． 所以CM＝２．３＋０．６＝２．９＞２．５． 所以这辆卡车能通过桥洞． (２)如图所示(示意图)． 根据题意可知CI＝GK＝２．８m,CG＝ OF＝１．２m,FI＝AH＝２．３m,OC＝OA, 所以CF＝０．５m． 在 Rt△OCF 中,根 据 勾 股 定 理 有 OA２＝OC２ ＝CF２ ＋OF２ ＝０．５２ ＋ １．２２＝１．３２． 所以OA＝１．３m, 即２OA＝２．６m． 所以桥洞的宽至少增加到２．６m．