7.5 三角形内角和定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 ２３８　 0  0 ５　三角形内角和定理 􀅰理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程． 􀅰理解三角形外角的定义,并掌握三角形内角和定理的两个推论． 􀅰能利用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明． M  > M “三角形的内角和等 于１８０°”是一个共性的结 论,与三角形的具体形状 没有关系,所有三角形的 三个内角之和都等于１８０°． U F!U E U +>  + 知识点一　三角形内角和定理    １．定理:三角形的内角和等于１８０°． ２．符号表示 如图①②③,在△ABC 中,∠A＋∠B＋∠C＝１８０°． A B C 图① 　　 A B C 图② 　　 A B C 图③ ３．证明 证明思路 图形 利用两直线平行,内 错角相等,将△ABC 的三个内角转化为一 个平角 利用两直线平行,内 错角及同位角相等, 将△ABC 的三个内 角转化为一个平角 　 利用两直线平行,内 错角相等,将△ABC 的三个内角转化为一 组同旁内角 A C B l1 l2 l3 2 3 46 5 1 　 A B C D 12 第七章　平行线的证明 ２３９　 0  0 【例１】△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C 满足∠A∶ ∠B∶∠C＝３∶４∶５,则这个三角形最大角的度数是 (　　) A．４５°　　　B．６０°　　　C．７５°　　　D．１０５° 解析 设∠A＝３x,则∠B＝４x,∠C＝５x, 所以３x＋４x＋５x＝１８０°,解得x＝１５°． 由题知最大角为∠C,所以∠C＝５x＝７５°, 所以这个三角形最大角的度数是７５°． 答案 C 　　 在三角形中求角的度数的方法 (１)已知三角形两个角的度数,求第三个角的度数时, 直接利用三角形内角和定理即可得出第三个角的 度数． (２)已知三角形三个角的度数之比为a∶b∶c,则可 设三 个 角 的 度 数 分 别 为ax,bx,cx,由ax＋bx＋ cx＝１８０°求出x 的值,就能得出各角的度数． 知识点二　三角形的外角 １．定义:三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线 组成的角,称为三角形的外角． 如图所示,∠ACD 就是△ABC 的一个外角． ２．特征:三角形外角的顶点是三角形的顶点,一条边 是三 角 形 的 边,另 一 条 边 是 三 角 形 某 条 边 的 延 长线． ３．实质:三角形的一个内角与相邻的外角互补． (１)在 三 角 形 中,利 用 三 角形内角和定理,可以由 两角 求 第 三 个 角 或 由 各 角之间的关系求各角． (２)与三角形内角和定理 有关的一个重要结论:直 角三角形的两个锐角互余． + M%F >UE >M> 数学　八年级　上册 ２４０　 0  0 (１)三角形每个顶点处有 两 个 外 角,它 们 是 对 顶 角,所以三角形共有六个 外角． (２)三角形的外角在三角 形的外部,但是不能理解 为三 角 形 外 部 的 角 就 是 三角形的外角． (３)判断一个角是否为三 角形的外角,关键看它是 否满足三角形外角的特征． B CU > CB A
B
A (１)应用推论１时,一定要注 意“不相邻”这一条件． (２)应用推论１可以证明角之 间的等量关系． (３)推论１可以作为中间关系 证明两个角相等,或者用来计 算角的大小． 【例２】如图所示,下列说法:①∠１是△CDE 的外角; ②∠２是△ADE 的外角;③∠２是△ADC 的外角; ④∠３是△ADE 的外角;⑤∠３是△ABC 的外角．其 中正确的说法有 (　　) E F A B D C 3 1 2 A．１个　　　B．２个　　　C．３个　　　D．４个 解析 ∠１是△CDE 的外角,故①正确;∠２是△ADC 的外角,故②错误,③正确;∠３是△ABC 的外角,故 ④错误,⑤正确．故正确的说法是①③⑤,共３个． 答案 C 知识点三　三角形内角和定理的推论１ １．由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个 基本事实或定理的推论． ２．三角形内角和定理的推论１:三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和． 符号语言:如图所示,因为∠１是△ABC 的一个外角 (已知),所以∠１＝∠２＋∠３． 【例３】如图,根据图上标注的信息,则α的大小为 (　　) 45° α15° α A．１００°　　　B．１０５°　　　C．１１５°　　　D．１２０° 第七章　平行线的证明 ２４１　 0  0 　解析 如图所示,∠１＝１８０°－(α－１５°)＝１９５°－α． 由推论１可得α＝１９５°－α＋４５°,解得α＝１２０°． 1 45° α15° α 答案 D 知识点四　三角形内角和定理的推论２ 　三