7.1 为什么要证明-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

２１９　 0  0 - @   第七章　平行线的证明 １　为什么要证明 􀅰知道通过实验、观察、归纳得到的结论未必可靠． 􀅰了解证明的意义,知道判断一个数学结论是否正确,必须进行证明,进而认识 到证明的必要性,发展推理意识． 􀅰会用实验验证、举例反证、推理论证等方法判断一个数学结论是否正确． 知识点一　证明的必要性 cc
  　实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正 确．因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠 实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)直觉有时会产生错误,不是永远可信的; (２)图形的性质并不都是通过测量得出的; (３)通过对少数具体例子的观察、测量或计算得出 的结论,并不能保证一般情况下都成立; (４)通过推理的方法研究问题,能够解释问题的本质． 【例１】当x＝－４,－１,０,１,４时,代数式x２＋４x＋４的值 都大于０,于是小明说:“对于任意实数x,代数式x２＋ ４x＋４的值都大于０．”你同意小明的说法吗? 为什么? 解 不同意．理由如下: 由(a＋b)２＝a２＋２ab＋b２,可得到x２＋４x＋４＝ (x＋２)２, 所以当x＝－２时,x２＋４x＋４＝(－２＋２)２＝０, 所以并非对于任意实数x,代数式x２＋４x＋４的值 都大于０． a b 只观察,你觉得木板a 长 还是b长? 对于一个结论,要肯 定其是正确的,必须通过 一步步推理、证明才能下 结论． 数学　八年级　上册 ２２０　 0  0 @?U !D U 55 kg 60 kg 推理证明的必要性 (１)实验验证法是最基本的方 法,它直接反映由具体到抽象、 由特殊到一般的逻辑思维方法; (２)推理论证法是最可靠、最 科学的方法; (３)检 验 数 学 结 论 的 具 体 过 程:观察、度量、实验→猜想归 纳→结论→推理结论正确． 知识点二　检验数学结论常用的方法 方法 应用 实验验证法 检验一些比较直观简单的结论 举例反证法 常用来验证某一数学结论不一定成立 推理论证法 既可以验证某结论是正确的,又可以验证某 结论是不正确的 【例２】如果x＞y,那么一定有 １ x＞ １ y 吗? 解 不一定． 因为当x＝２,y＝１时,x＞y, １ x＝ １ ２ ,１ y ＝１, 显然 １ ２＜１ ,即１ x＜ １ y , 所以如果x＞y,不一定有 １ x＞ １ y ． 常考题型解读 １．如图,先观察所给图形,再 用所学的知识验证直线a,b 是否平行． A a b 2 1 题型一　实验验证结论 【例１】如图①②③所示,先观察,再验证: (１)图①中的实线是直的,还是弯的? (２)图②中的两条线段a 与b,哪条更长? (３)图③中的直线AB 与直线CD 平行吗? 图① 　　 a b 图② 　　 A B C D 图③ 思路分析 借助学习工具验证结论是否正确． 第七章　平行线的证明 ２２１　 0  0 解 观察可能得出的结论:(１)题图①中的实线是弯曲 的．(２)题图②中的线段a 更长一些．(３)题图③中的 直线AB 与直线CD 不平行． 用科学的方法验证后可以发现:(１)题图①中的实线 是直的．(２)题图②中的线段a 与b一样长．(３)题图③ 中的直线AB 与直线CD 平行． 题型二　推理论证的应用 【例２】一个两位数,它的十位数字为a,个位数字为b, a 与b不相同,若把它的十位数字与个位数字对调, 将得到一个新两位数,有人说这两个两位数的和与差 都能被１１整除,这种说法正确吗? 为什么? 思路分析 由题意,知原两位数为１０a＋b,则新两位数 为１０b＋a．先分别求出１０a＋b 与１０b＋a 的和与差, 再看这个和与差是不是１１的整数倍,若是,则可被 １１整除;若不是,则不能被１１整除． 解 这种说法不正确．理由如下: 由题意,知原两位数为１０a＋b, 则新两位数为１０b＋a． (１０a＋b)＋(１０b＋a)＝１１(a＋b)． (１０a＋b)－(１０b＋a)＝９a－９b＝９(a－b)． 因为１１(a＋b)是１１的整数倍, 所以这两个两位数的和能被１１整除． 因为９(a－b)不是１１的整数倍, 所以这两个两位数的差不能被１１整除． 　　我们判断一个结论是否正确,不能仅仅依靠想象 或经验,必须经过严格的推理论证． ２．如图,从点O 发出的四