2.6 实数-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 ５２　 0  0 ６　实　数 􀅰了解实数的概念和意义,能够按要求对实数进行分类． 􀅰知道实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点来表示任意实数,并且能比 较两个实数的大小． 􀅰了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义,知道有理数的运算法则和运算 律在实数范围内仍然适用． M  > M 



 在公元前５００年左右,以 毕达哥拉斯为首的希腊数学 家们认识到有理数在几何上 不能满足需要,但毕达哥拉斯 本身并不承认无理数的存在． 直到１７世纪,实数才在欧洲 被广泛接受．１８７１年,德国数 学家康托尔第一次提出了实 数的严格定义． 知识点一　实数的概念与分类 １．概念 有理数和无理数统称为实数． ２．分类 (１)按定义分类 实数 有理数 整数 分数{ }有限小数或无限循环小数 无理数:无限不循环小数 ì î í ï ï ï ï (２)按数的性质符号分类 实数 正实数 正有理数 正整数 正分数{ 正无理数 ì î í ï ï ï ï ０ 负实数 负有理数 负整数 负分数{ 负无理数 ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 【例１】把下列各数填入相应的大括号内: － １ ２ ,０,０．１６,３ １ ２ ,０．１５ 􀅰 ,３,－ ５ ３ ,π ３ ,１６,３－８, ３．１４１５９２６,０．３０３００３０００３􀆺(相邻两个３之间０ 的个数逐次加１)． 第二章　实　数 ５３　 0  0 　整数集合:{　　　　􀆺};分数集合:{　　　　􀆺}; 正数集合:{　　　　􀆺};负数集合:{　　　　􀆺}; 有理数集合:{　　　􀆺};无理数集合:{　　　􀆺}． 解 整数集合:{０,１６,３－８,􀆺}; 分数集合:－ １ ２ ,０．１６,３ １ ２ ,０．１５ 􀅰 ,３．１４１５９２６,􀆺{ }; 正数集合:{０．１６,３１２,０．１５ 􀅰 ,３, π ３ ,１６,３．１４１５９２６, ０．３０３００３０００３􀆺(相邻两个３之间０的个数逐次加１),􀆺}; 负数集合:－ １ ２ ,－ ５ ３ ,３－８,􀆺{ }; 有理数集合:{－１２,０,０．１６,３ １ ２ ,０．１５ 􀅰 ,１６,３－８, ３．１４１５９２６,􀆺}; 无理数集合:{ ３,－ ５３, π ３ ,０．３０３００３０００３􀆺(相邻 两个３之间０的个数逐次加１),􀆺}． (１)３．１４１５９２６是π的一个近似值,它是有限小数,是 有理数,不要与无理数π混淆． (２)１６,３－８虽然带有根号,但它们能化为整数,因 此它们都是有理数．对实数的分类,一定要注意看其 化简的最终结果． 知识点二　实数的性质 １．在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数 范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同． 对实数进行分类时,要按 同一标准,做到不重不漏． 不是所有带根 号 的 数 都 是无理数． 对实数进行分类时, 应先 对 某 些 数 进 行 计 算 或化简,再根据它们的最 后结果进行分类． 数学　八年级　上册 ５４　 0  0 (１)相 反 数 等 于 它 本 身 的 数 是０． (２)绝对值等于它本身的数是 非负数． (３)倒 数 等 于 它 本 身 的 数 是 ±１． (１)求 一 个 数 的 相 反 数、 绝对值和倒数时,特别要 注意符号不要弄错． (２)任 何 数 都 有 相 反 数, 但不一定有倒数． 名称 内容 示例 相反数 a 与－a 表示任意一对相反数 ５与 － ５是 一 对相反数 绝对值 当a＞０时,|a|＝a,即正实数 的绝对值等于它本身 |３|＝ ３ 当a＝０时,|a|＝０,即０的绝 对值是０ |０|＝０ 当a＜０时,|a|＝－a,即负实 数的绝对值等于它的相反数 |－ ３|＝ ３ 倒数 a 与 １ a 互为倒数(其中a≠０) ３ ７与 １ ３ ７ 互为倒数 ２．实数的有关性质 (１)a 与b互为相反数⇔a＋b＝０; (２)a 与b互为倒数⇔ab＝１; (３)|a|≥０; (４)互为相反数的两个数的绝对值相等,即|a|＝|－a|; (５)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,０没有倒数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋注意:实数的性质可以类比有理数的性质学习． 【例２】求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (１)５;(２)－ ７;(３) １６ ９ ;(４)２－ ３． 解 (１)５的相反数是－ ５,倒数是 １ ５ ,绝对值是 ５． (２)－ ７的相反数是