2.4 估算-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

第二章　实　数 ４５　 0  0 ４　估　算 􀅰能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小． 􀅰掌握估算的方法,形成估算的意识,培养数感． M  > M 知识点一　用估算法确定无理数的大小 　求带根号的无理数的近似值时,可以通过平方运算或 立方运算采用“夹逼法”完成,即两边无限逼近,逐级 夹逼．先确定其整数部分,再确定十分位、百分位等小 数部分． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:“精确到”与“误差小于”的区别:如精确到１, 是四舍五入到个位,答案唯一;误差小于１是指估算 的值与其准确值的差的绝对值小于１即可,答案不 唯一． 【例１】估算下列各数的大小: (１)２９(误差小于１); (２)０．７(结果精确到０．１); (３)３４００(结果精确到１)． 解 (１)因为５２＝２５,６２＝３６, 所以５＜ ２９＜６． 所以 ２９的估算值为５或６． (２)因为０．８２＝０．６４,０．９２＝０．８１, 所以０．８＜ ０．７＜０．９． 因为０．８３２＝０．６８８９,０．８４２＝０．７０５６, 所以０．８３＜ ０．７＜０．８４． 所以 ０．７≈０．８． 估算运用夹逼法, 两边同时去逼近, 逐级确定其数值, 四舍五入到精确位． 数学　八年级　上册 ４６　 0  0 估算 值 不 能 偏 离 实 际结 果 太 远,要 从 实 际 出发． (１)当两个数均为正数时: ①两个带根号的正无理数比 较大小,当同为开平方或开立 方运算时,被开方数大的无理 数大; ②一个带根号的正无理数与 一个正有理数比较大小时,将 有理数乘方后与被开方数进 行 比 较,从 而 确 定 它 们 的 大小． 　(３)因为７３＝３４３,８３＝５１２, 所以７＜３４００＜８． 因为７．５３＝４２１．８７５, 所以７＜３４００＜７．５． 所以３４００≈７． 估算无理数 a(a＞０)或３a的方法 (１)通过平方或立方运算,估计a 的整数部分,确定其 在哪两个连续整数之间,较小整数即为整数部分． (２)按同样方法确定a 的十分位、百分位、千分位􀆺􀆺 上的数字,直到精确数位的下一位,从而确定 a(a＞ ０)或３a的近似值． 知识点二　用估算法比较数的大小 　利用估算可以比较两个无理数或有理数和无理数之间 的大小,在比较时,我们一般先采用分析的方法,将无 理数取一个适合的近似值,再进行具体的比较． 【例２】比较下列各组数的大小: (１) ３＋１ ２ 与１;(２)１２．５与３．６;(３)３２７０与６．５． 解 (１)因为１＜３＜４, 所以 ３＞１． 所以 ３＋１＞２． 所以 ３＋１ ２ ＞１． ü þ ý ï ï ï ï ï ï ï ï 􀜛􀜛􀜛→ 估算法比较大小． (２)因为(１２．５)２＝１２．５,３．６２＝１２．９６, 且１２．５＜１２．９６, 所以 １２．５＜３．６． ü þ ý ï ï ï ï → 平方法比 较大小． (３)因为(３２７０)３＝２７０,６．５３＝２７４．６２５, 且２７０＜２７４．６２５, 所以３２７０＜６．５． ü þ ý ï ï ï ï → 立方法比 较大小． 第二章　实　数 ４７　 0  0 比较无理数大小的常用方法 (１)估算法:如比较 ２ ２ 与 １ ２ ,因为 ２≈１．４１４＞１,所以 ２ ２＞ １ ２． (２)作 差 法:若 a － b ＞０,则 a ＞ b;若 a － b＜０,则 a＜ b． (３)平方(或立方)法:把含有根号的两个无理数同时 平方(或立方),根据平方(或立方)后的数比较大小． (４)移动因式法:当a＞０,b＞０时,若a＞b,则 a＞ b,所以可以把根号内的因式移动到根号外进行比 较大小． (２)当两个数均为负数时,先 比较 它 们 的 绝 对 值 的 大 小, 再根 据 绝 对 值 大 的 反 而 小, 确定它们的大小． 常考题型解读 题型一　估算无理数的近似值 直接估算无理数的近似值 【例１】(辽宁营口中考)估计 ２１的值在 (　　) A．３和４之间　　　　　B．４和５之间 C．５和６之间 D．６和７之间 思路分析 先写出２１的范围,再写出 ２１的范围． 解析 因为１６＜２１＜２５,所以 １６＜ ２１＜ ２５． 所以４＜ ２１＜５． 答案 B 　　解决此类题目的关键是找到被开方数在哪两个 相邻的完全平方数之间． １．(江苏徐州中考)下列无理 数,与３最接近的是　 (　　) A．６　　　B．７ C．１０ D．１１ 数学　八年