2.2 平方根-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 ３２　 0  0 ２　平方根 􀅰了解算术平方根和平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根． 􀅰了解平方与开平方是互逆的运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方 根和平方根． 􀅰能用平方根与算术平方根解决简单的实际问题． M  > M 人们对算术平方 根 计 算 方法的探索有着悠久的历史, 在我国古代数学名著«九章算 术»“少广”一章中就记载了古 人关于求算术平方根的计算 方法． 算术平方根 (１)一个非负数的算术平 方根只有一个． (２)a(a≥０)越大,它的算 术平方根也越大． 知识点一　算术平方根的概念与性质 　 概念 表示 性质 一般地,如果一个 正数 x 的 平 方 等 于a,即x２＝a,那 么这 个 正 数 x 就 叫做a 的 算 术 平 方根 a 的算术平方根 记 作 a,读 作 “根号a” (１)正数的算术平 方根是正数; (２)０的算术平方 根是０; (３)负数没有算术 平方根 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)双重非负数:非负数才有算术平方根,算 术平方根也是非负数． (２)求带分数的算术平方根,先将带分数化为假分 数,再求算术平方根． 【例１】求下列各数的算术平方根: (１)２５６;(２)２ １ ４ ;(３)０;(４)( － ４ ５) ２ ． 解 (１)因为１６２＝２５６, 所以２５６的算术平方根是１６, 即 ２５６＝１６． 第二章　实　数 ３３　 0  0 　(２)因为２ １ ４＝ ９ ４ ,( ３ ２) ２ ＝ ９ ４ , 所以２ １ ４ 的算术平方根是 ３ ２ ,即 ２ １ ４＝ ３ ２． (３)因为０２＝０, 所以０的算术平方根是０,即 ０＝０． (４)因为 ( － ４ ５) ２ ＝ １６ ２５＝ ( ４ ５) ２, 所以 ( － ４ ５) ２ 的算术平方根是 ４ ５ , 即 ( － ４ ５) ２ ＝ ４ ５． (１)在求a 的算术平方根时,若a 是有理数的平方,则 a 的算术平方根就不带根号;若a 不是有理数的平 方,则a 的算术平方根就带有根号,如 １３． (２)因为求一个非负数的算术平方根的运算与数的平 方运算是互逆的,所以求一个非负数的算术平方根常 借助于平方运算． 知识点二　平方根的概念与性质 １．平方根的概念与性质 概念 表示 性质 一般地,如果一个 数x 的 平 方 等 于 a,即x２＝a,那么 这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做 二次方根) 正 数 a 的 平 方 根 记 作 ± a, 读 作 “正、负 根 号 a” (１)正 数 有 两 个 平 方根; (２)０只有一个平方 根,它是０本身; (３)负数没有平方根 (１)a ≥０(a≥０),只 有 当 a＝０时,才有 a＝０． (２)若 a＋ b＝０,则a＝０, b＝０． (３)若 a＋ b ＝０,则a＝０, b＝０． (４)若 a＋b２＝０,则a＝０, b＝０． 数学　八年级　上册 ３４　 0  0 平方 运 算 与 开 平 方 运算互为逆运算,可以用 平方 运 算 来 检 验 开 平 方 的结果是否正确． 被开方数a(a＞０)的小 数点的位置每向左(或向右) 移动两位,平方根± a 的 小 数点的位置就相应地向左(或 向右)移动一位． a,－ a,± a(a≥０)的区别 (１)a:一个非负数的算术平 方根． (２)－ a:一个非负数的算术 平方根的相反数或一个非负 数的负的平方根． (３)± a:一 个 非 负 数 的 平 方根． ２．算术平方根与平方根的区别与联系 关系 算术平方根 平方根 区 别 个数不同 正数的算术平方根 只有１个 正 数 的 平 方 根 有 ２个 表示方法不同 正数 a 的 算 术 平 方根表示为 a 正数a 的平方根表 示为± a 取值范围不同 正数的算术平方根 一定是正数 正数的平方根一正 一负,互为相反数 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根 存在的 条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 ０的平方根与算术平方根均为０ ３．开平方 求一个数a(a≥０)的平方根的运算,叫做开平方,a 叫 做被开方数． 【例２】下列各数有平方根吗? 如果有,请求出它的平方 根;如果没有,请说明理由． (１)３６１;(２)( － ５ ３) ２;(３)３ ６ ２５ ;(４)－７２;(５)１９． 解 (１)因为３６１＞０,所以３６１有两个平方根． 又因为(±１９)２＝３６１,