2.1 认识无理数-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

２８　 0  0 - @   - @   第二章　实　数 １　认识无理数 􀅰通过拼图活动,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性． 􀅰探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想． 􀅰会判断一个数是有理数还是无理数． M  > M 要说 明 一 个 数 不 是 有理数,只需说明其既不 是整 数,也 不 是 分 数,或 者其 不 能 化 成 有 限 小 数 或无限循环小数的形式． 知识点一　生活中不是有理数的数 　在日常生活中,人们发现了不是有理数的数,比如面 积是５的正方形的边长,如果设该正方形的边长为 x,那么x２＝５,显然x 既不是整数,也不是分数,所 以x 不是有理数．其实在我们身边就存在着大量的不 是有理数的数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:不是有理数的数是客观存在的,产生于实际 问题,具有特定的实际意义． 【例１】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,其三边依次为a,b, c,解答下列问题: (１)当a＝６,b＝８时,c是有理数吗? (２)当a＝２,b＝３时,c是有理数吗? 解 (１)因为∠C＝９０°, 所以a２＋b２＝c２． 因为a＝６,b＝８, 所以c＝１０． 所以c是有理数． 第二章　实　数 ２９　 0  0 　(２)因为∠C＝９０°, 所以a２＋b２＝c２． 因为a＝２,b＝３, 所以c２＝１３． 因为３２＝９,４２＝１６, 所以３＜c＜４,且不能够找到任意一个有理数来表示c． 所以c不是有理数． 如何判断一个数是否为有理数 如果一个数是整数或分数,那么它是有理数．有 理数总可以用有限小数或无限循环小数表示;反过 来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数,不 满足以上条件的数则不是有理数． 知识点二　由一个数的平方估算这个数(夹逼法) 　如果x２＝５(x＞０),估计x 值的方法如下: (１)确定整数部分:因为２２＜５＜３２,即２２＜x２＜３２, 所以２＜x＜３．因此,x 的整数部分是２． (２)确定小数部分:因为２．２２＝４．８４,２．３２＝５．２９,所以 ２．２２＜x２＜２．３２．所以２．２＜x＜２．３．所以x 十分位上 的数是２． 用同样的方法可以确定其他数位上的数． 【例２】学校旁边的一块荒地上准备建造一座面积为 ２００m２的正方形花园,请你估算一下:花园的边长大 约有多少米(保留两位小数)? 解 设花园的边长为x m,则x２＝２００． 因为１４２＝１９６,１５２＝２２５, 所以１４２＜x２＜１５２． 所以x 的整数部分是１４． 因为１４．１２＝１９８．８１,１４．２２＝２０１．６４, 所以１４．１２＜x２＜１４．２２． 若一个数的平 方 不 是 一 个完全平方数(任意自然数的 平方的运算结果),则这个数 不是整数．若一个数的平方是 一个分数,且它的分子、分母 中至少有一个不是完全平方 数,则这个数不是分数． 估计 一 个 非 有 理 数 的大小时,一般先估计其 整数部分,再估计其小数 部 分 中 的 十 分 位、百 分 位、千分位􀆺􀆺上的数字． 夹逼法 夹逼法是将x 的范围逐 渐缩小,使x２ 越来越接近某 个数．这种方法渗透了用有理 数近似表示无限不循环小数 的理念． 数学　八年级　上册 ３０　 0  0 常见的无理数的几种类型 (１)一般的无限不循环小数, 如１．４１４２１３５６􀆺． (２)看似循环而实际上不循环 的小 数,如 １．０１００１０００１􀆺 (相邻两个１之间０的个数逐 次加１)． (３)具有特定意义的数,如π． (４)无理数与有理数的和、差, 结果都是无理数,如π＋３． (５)无理数乘或除以一个不为 ０的 有 理 数,结 果 仍 是 无 理 数,如２π, π ２． 　所以x 的十分位上的数是１． 因为１４．１４２＝１９９．９３９６,１４．１５２＝２００．２２２５, 所以１４．１４２＜x２＜１４．１５２． 所以x 的百分位上的数是４． 因为１４．１４２２＝１９９．９９６１６４,１４．１４３２＝２００．０２４４４９, 所以１４．１４２２＜x２＜１４．１４３２． 所以x 的千分位上的数是２． 所以x≈１４．１４． 答:花园的边长大约有１４．１４m． 知识点三　无理数 　无理数定义:无限不循环小数叫做无理数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�