1.2.2极坐标与直角坐标的互化课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版选修4-4

刘俊斌模板之5 极坐标与直角坐标的互化 平罗中学数学教研组 刘俊斌 （1）点A关于极轴对称的点是_______________ （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ （3）点A关于直线 的对称点的极坐标是_______ 1. 2.在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么 ①当θ1=θ2,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π,k∈Z时,|P1P2|=ρ1+ρ2 3、思考： 平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？ 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) x=ρcosθ, y=ρsinθ O x y θ 极坐标与直角坐标的互化关系式: ρ y M 设点M的直角坐标是 (x, y),极坐标是 (ρ,θ) 极角的确定：由正切值找角，由象限位置定角 O x y θ ρ y M 互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 解: 所以, 点M的直角坐标为 例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标. 类型一：点的极坐标化直角坐标 例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标. 解: 因为点在第三象限, 所以 ， 因此, 点M的极坐标为 。 类型二：点的直角坐标化极坐标 归纳：由点的直角坐标确定极角 当点不在y轴上时,由tanθ= 求出[0,2π)上的θ; 当点在y轴正半轴上时,θ= ; 当点在y轴负半轴上时,θ= . 例3.已知A,B两点的极坐标为 求线段 AB中点的直角坐标. 【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标? 提示:先求出端点的直角坐标,再利用中点坐标公式求中点的直角坐标. 类型三：极坐标与直角坐标的综合应用 【延伸探究】 1.试求线段AB中点的极坐标. 【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为 故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8, 故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的 极坐标为 方法二:因为线段AB中点的直角坐标为 故 因为AB中点在第三象限,故 故中点的极坐标为 2.试求直线AB的方程. 【解析】因为A点的极坐标为 所以 所以A(3, ), 又因为直线AB的倾斜角为 故斜率 故直线AB的方程为 即 【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略 　　在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可. 3.在极坐标系中,已知 求|AB|. 【解析】由点A的极坐标为 可得点A的直角坐标为 同理点B的直角坐标为(2 ,-2),则|AB|= o x A B 解： 用余弦定理求AB的长即可。 例4. ：已知两点 ， 求两点间的距离。 类型三：极坐标与直角坐标的综合应用 归纳：在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么 两点间的距离公式 的两种 特殊情形为: ①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|. 例5.在极坐标系中,若△ABC的三个顶点为 判断三角形的形状. 类型三：极坐标与直角坐标的综合应用 【解析】 所以△ABC是等边三角形. 例6.求曲线 的直角坐标方程. 类型三：极坐标与直角坐标的综合应用 A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线 4.极坐标方程 所表示的曲线是（ ） B 3.极坐标方程 表示的曲线是_______。 抛物线 归纳：在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么 两点间的距离公式 的两种 特殊情形为: ①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|; ②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1+ρ2|. 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) x=ρcosθ, y=ρsinθ O x y θ 极坐标与直角坐标的互化关系式: ρ y M [再练一题] 1．分别把下列点的极