第一讲 二 第二课时 极坐标和直角坐标的互化-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第二课时　极坐标和直角坐标的互化 目标 定位 1.理解极坐标的有关概念，会建立极坐标系，会根据要求写出点的极坐标． 2.理解极坐标与有序实数对之间的对应关系． 3.能够熟练进行点的极坐标与直角坐标的互化. [来源:学科网] 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，如图所示．那么，极坐标与直角坐标的互化公式为： 1．理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义是解题的关键． 2．正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解． 3．要熟练掌握两种坐标转化的前提条件及公式的来源. 题型一　极坐标与直角坐标的互化 　若以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系． (1)已知点A的极坐标，求它的直角坐标； (2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π) 思路点拨　直接根据极坐标与直角坐标的互化公式求解．在求极坐标的极角时，注意点所在的象限． 【解析】　(1)∵x＝ρcos θ＝4cosπ＝2 y＝ρsin θ＝4sinπ＝－2 ∴A点的直角坐标为(2，－2)． ∴θ＝π，点B的极坐标为 又∵x＝0，y<0，ρ＝15 ∴点C的极坐标为. 【方法技巧】 极坐标与直角坐标互化时，必须符合以下三个条件． (1)原点与极点重合． (2)x轴的正半轴与极轴重合． (3)两个坐标系具有相同的长度单位，直角坐标化极坐标时，先确定tan θ的值，再确定θ所在的象限，求出符合条件的极角． 1．(1)把点M的极坐标化为直角坐标形式； (2)把点M的直角坐标(1，－1)化为极坐标形式(限定ρ≥0，－π<θ≤π)． 解析　(1)用坐标变换公式，得 即点M的直角坐标为(－1，)． (2)由坐标变换公式，得 tan θ＝＝－1，θ＝－(θ为第四象限角) 即点M的极坐标为. 答案　(1)(－1，)　(2) 题型二　求直角坐标和极坐标的变换公式 　在直角坐标系中，以点(x0，y0)为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图所示．写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式(假定长度单位不变)． 思路点拨　先将直角坐标系的原点平移至与极点重合，再结合极坐标与直角坐标的互化公式求解． 【解析】　由直角坐标的平移公式 再结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得 【方法技巧】 求直角坐标和极坐标的变换公式是极坐标与直角坐标的互化的逆过程．求解时应检验是否符合以下三个条件：(1)原点与极点重合．(2)x轴的正半轴与极轴重合．(3)单位长度应相同． 2．已知点A的极坐标为，且极点在直角坐标为(2,3)的点处，极轴平行于x轴的正方向，求点A的直角坐标． 解析　平移坐标系，使原点移到点(2,3)处建立新直角坐标系x′Oy′，在新坐标系中A点坐标是 x′＝10cos＝5 y′＝10sin＝5 于是由x＝x′＋2，y＝y′＋3得点A的直角坐标为(2＋5，8) 答案　(2＋5，8) 题型三　极坐标化为直角坐标的综合应用 　在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 思路点拨　解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解；也可以直接利用极坐标根据余弦定理求解． 【解析】　解法一　利用坐标转化． 对于点A有ρ＝2，θ＝， ∴x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝， ∴A(，) 对于B有ρ＝2，θ＝， ∴x＝2cos ＝－，y＝2sin ＝－. ∴B(－，－)． 设点C的直角坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形， 故有|BC|＝|AC|＝|AB|. ∴(x＋)2＋(y＋)2＝(x－)2＋(y－)2 ＝(＋)2＋(＋)2. ②－①得y＝－x ③ 代入①化简得x2＝6，∴x＝±，[来源:学科网] 解得或， ∴点C的直角坐标为(，－)或(－，)． ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1， ∴θ＝或θ＝. ∴点C的极坐标为或. 解法二　设点C的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ＜2π，ρ＞0)． 则有|AB|＝|BC|＝|AC|.由余弦定理得 ①＋②并化简得ρ2＝12，由于ρ＞0， 解得ρ＝2，再代入①得cos ＝0， ∴θ－＝＋kπ，k∈Z， ∴θ＝＋kπ，k∈Z， 由于0≤θ＜2π， 令k＝0,1分别得θ＝或， ∴点C的极坐标为或. 【方法技巧】 本题运用了坐标平面内两点间的距离公式： (1)如果已知点的直角坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝ (2)如果已知点的极坐标A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ 3．本例中，如果点的极坐标仍为A，B，且△ABC为