第一讲 配餐3 极坐标和直角坐标的互化-高中数学选修4-4【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 配/餐/1/刻/钟 第一讲　坐标系 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 配餐3　极坐标和直角坐标的互化 ►►配餐一刻钟　提分更轻松 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 知识与方法 1．极坐标与直角坐标的互化 互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位，互化公式为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq \f(y,x)(x≠0) 直角坐标方程化为极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可。而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代表较为方便，常常方程两边同乘ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 2．极坐标与直角坐标的互化在实际生活中的应用 极坐标系利用方位和距离刻画点的位置，而直角坐标系是利用横、纵坐标刻画点的位置，在实际生活中，常常先借助于直角坐标的运算，再转化为极坐标，从而确定点的位置。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 典型例题 【例1】　已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))) ＝6。 (1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线的形状； (2)求C1，C2交点间的距离。 [导思]　对于(1)，可利用互化公式求解；对于(2)，可转化为求圆的弦长问题。 [解]　(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，即C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆。 由C2：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝6，得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ－\f(\r(3),2)cosθ))＝6。 所以y－eq \r(3)x＝12，即eq \r(3)x－y＋12＝0。 故C2表示直线。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 (2)因为圆心(0,0)到直线eq \r(3)x－y＋12＝0的距离为 d＝eq \f(12,\r(\r(3)2＋－12))＝6<r＝10， 所以直线C2被圆截得的弦长为 2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(102－62)＝16。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 【例2】　在极坐标系中，如果Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4)))为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)。 [解]　对于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，有ρ＝2，θ＝eq \f(π,4)， ∴x＝2coseq \f(π,4)＝eq \r(2)，y＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2)， 则A(eq \r(2)，eq \r(2))。 对于点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,4)π))，有ρ＝2，θ＝eq \f(5,4)π， ∴x＝2coseq \f(5,4)π＝－eq \r(2)，y＝2sineq \f(5,4)π＝－eq \r(2)。 ∴B(－eq \r(2)，－eq \r(2))。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-4 设C点的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4。 ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\r(2)2＋y－\r(2)2＝16，,x＋\r(2)2＋y＋\r(2)2＝16。)) 解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\r(6)，,y＝－\r(6)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\r(6)，,y＝\r(6)。)) ∴C点的坐标为(eq \r(6)，－eq \r(6))或(－eq \r(6)，eq \r(6))。 ∴ρ＝eq \r(6＋6)＝2eq \r(3)，tanθ＝eq \f(－\r(6),\r(6))＝－1， ∴θ＝eq \f(7,4)π或θ＝eq \f(3,4)π。 故点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1