1.1.1变化率问题、1.1.2 导数的概念 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版选修2-2

导数及其应用 人教A版·高中数学·选修2-2 第一章 微积分的建立者：牛顿（英国）和莱布尼兹（德国） 恩格斯曾称“微积分是17世纪三大发明之一” 知识背景 牛顿关于微积分的手稿表明，牛顿于1665年发明了流数术，但他只是把研究结果通知了自己的一些朋友。他的微积分学说最早的公开表述是在1687年出版的巨著《自然哲学之数学原理》中。莱布尼兹的工作虽比牛顿的工作稍晚10年（1675－1676年间发明了无穷小算法），但公开发表的时间却比牛顿早3年，1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文，1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文。 牛顿与莱布尼兹关于微积分发明优先权的争论 在牛顿和莱布尼茨死后，经过调查证明：双方都是在前人的基础上独自发明的。 1.1 导数的概念和其几何意义 看下面这个问题: 问题1. 在高台跳水中, 运动员起跳后每一时刻的速度相同吗? 怎样计算某段时间内的平均速度? 这个平均速度能刻划运动员各时刻的运动状态吗? 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后的时间 t (s) 存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 在 t1 到 t2 这段时间内的平均速度为 0≤t≤0.5 时, 0.5≤t≤1 时, 1≤t≤2 时, 各时段的平均速度不同, 各时刻的速度也不同. 以上两问题中的变化率都是形如 的表示式. 我们把这个式子称为函数 f(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率. △y= f(x2)-f(x1). f(x2)-f(x1) 是函数 f(x) 对于 f(x1) 的一个增量, 习惯上用 △y表示, 即 △x=x2-x1. 同样, x2-x1 是自变量 x 对于 x1 的一个增量, 习惯上用 △x 表示, 即 于是, 平均变化率可表示为 问题2. 如图, 观察函数 f(x) 的图象, 平均变化率 表示什么? x y O x1 x2 x2-x1 f(x2)-f(x1) f(x2) f(x1) y=f(x) A B C = tan∠CAB = kAC. 如图, 表示曲线 f(x)上两点 (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) 连线段的斜率. 1. 瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 问题 1 中高台跳水运动员的瞬时速度怎样求呢? 作 t=2 附近的平均速度来观察: 当时间增量△t>0 时, 在 和 中, 当 度, 写成 |△t| 无限接近于 0 时, 得到的 v 就是 t=2 时的瞬时速 即 2. 瞬时变化率 对于函数的平均变化率 由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1, 当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1. 我们用符号 表示△x 趋近于零, 用平均变化 表示函数在 x1 处的瞬时变化率. 率的极限 3. 导数 一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是 我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0) 问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是求函数 h(x) 在 t=2 时的导数. 导数可以描述任何物体的瞬时变化. 或 y |x=x0, 即 由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 一差、二比、三极限 A C “导学精练”选修2-2 1.1.1-1.1.2 导数的概念 （大书+活页） 专注高效 自律自省 课后作业 17 也可称为三步法求导数. 求导数值的一般步骤： 1 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数： . 例1. 求函数y=2x2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率； 并计算当时，平均变化率的值. 解： ∴，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为. 当时，，即平均变化率的值为9. 例2. 已知，求，. 解：因为， 所以 当Δx→0时，，∴当x=2时，. 例3.（1）设函数在处存在导数，则（ ） A． B． C． D． 例3.（2）已知函数f′(1)=10，则 的值为(　　) A．10 B．－10 C．－20 D．20 $