第四章 基本平面图形 方法专题-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（北师大版)

数学　七年级　上册 １８８　 方法专题 　　无论是线段中的折叠与动点问题, 还是角中的折叠与动边问题,一定要注 意分类讨论思想的运用．同时,正确运用 方程求解,是解决此类问题的关键． 解决此类问题的主要步骤如下: (１)数形结合,准确画出图形; (２)设出未知数,看清楚折叠方式或运动 方式,表示出线段的长度或角的度数; (３)根据题中的等量关系列方程(有时要 注意分类讨论),并解方程． １．线段中的折叠问题 【例１】如图,把一根绳子对 折 成 线 段 AB,从点P 处把绳子剪断,已知AP∶ BP＝２∶３,若剪断后的各段绳子中最长 的一段为６０cm,则绳子的原长是多少? A P B 思路分析 知条件　把一根绳子对折成线段AB, 从点 P 处把绳子剪断,已知 AP∶BP＝２∶３,剪断后的各 段绳子中最长的一段为６０cm． 明方法　利用方程思想、分类讨论思 想解答． 解 因为AP∶BP＝２∶３, 所以设AP＝２xcm,BP＝３xcm． ①若一根绳子沿点B 对折成线段AB, 则剪断后的三段绳子的长度分别为 ２xcm,２xcm,６xcm, 所以６x＝６０, 所以x＝１０, 所以绳子的原长是２x＋２x＋６x＝１０x＝ １００(cm); ②若一根绳子沿点A 对折成线段AB, 则剪断后的三段绳子的长度分别为 ４xcm,３xcm,３xcm, 所以４x＝６０, 所以x＝１５, 所以绳子的原长是 ４x＋３x＋３x＝ １０x＝１５０(cm)． 综上所述,绳子的原长是 １００cm 或 １５０cm． ２．线段中的动点问题 【例２】如图,已知 A,B 是数轴上的两 点,点A 在原点左侧,且距原点２０个 单位长度,点B 在原点右侧,且距原点 １００个单位长度．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发以每秒６个单位长度的速 度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q 从点A 出发以每秒４个单位长度的速 度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上 的点C 处相遇,求点C 表示的数． A B 第四章　基本平面图形 １８９　 思路分析 知条件　点 A 在原点左侧且距原点 ２０个单位长度,点B 在原点 右侧且距原点１００个单位长 度．现有一只电子蚂蚁 P 从 点B 出发以每秒６个单位长 度的速度向左运动,同时另 一只电子蚂蚁 Q 从点A 出 发以每秒４个单位长度的速 度向右运动．设 两 只 电 子 蚂 蚁在数轴上的点C 处相遇． 明方法　利用方程思想解答． 解 设两只蚂蚁经过x 秒相遇． 由题意,得４x＋６x＝１００＋２０, 所以x＝１２, 所以４x－２０＝２８． 所以点C 表示的数是２８． ３．角中的折叠问题 【例３】如图,将长方形纸片的一角折叠, 使顶点A 落在点F 处,折痕为BC．作 ∠FBD 的 平 分 线 BE,将 ∠FBD 沿 BF 折叠,使 BE,BD 落在∠FBC 的 内部,且折叠后的BE 交CF 于点M, BD 交 CF 于 点 N,若 BN 平 分 ∠CBM,则∠ABC 的度数是多少? B DA C F E 思路分析 知条件　将长方形纸片的一角折叠, 使顶点A 落在点F 处,折痕 为BC,作∠FBD 的平分线 BE,将∠FBD 沿BF 折叠, 使BE,BD 落 在 ∠FBC 的 内部,且折叠后的BE 交CF 于点M,BD 交CF 于点N, BN 平分∠CBM． 明方法　利用方程思想解答． 解 如图,将∠FBD 沿BF 折叠后,BE, BD 分别落在BE′,BD′处． B DA C F E M N E′ D′ 因为BE 平分∠FBD, 所以∠FBE＝∠DBE． 由折叠,知∠ABC＝∠FBC,∠FBE＝ ∠FBE′,∠DBE＝∠NBM． 因为BN 平分∠CBM, 所以∠CBN＝∠MBN, 所以 ∠CBN ＝ ∠MBN ＝ ∠MBF ＝ ∠FBE＝∠DBE． 设∠CBN ＝x,则∠ABC＝∠FBC＝ ３x,∠DBF＝２x． 因为∠ABC＋∠FBC＋∠DBF＝１８０°, 所以８x＝１８０°, 所以x＝２２．５°, 所以∠ABC＝３x＝６７．５°． ４．角中的动边问题 【例 ４】点 O 在 直 线 AB 上,OD 平 分 ∠AOB,作射线OE,OF,使得∠AOF＝ ２∠DOE． (１)当射线OE,OF 在如图所示的位置 时,试说明:OE 平分∠FOB． 数学　七年级　上册 １９０　 OA B F D E (２)当射线OE,OF 从如图所示的位 置同时绕点O 逆时针旋转,在旋转的 过程中始终满足∠AOF＝２∠DOE, 当∠DOE＝ １ ３∠EOF 时,求∠BOE 的 度数． 思路分析 知条件　点O 在直线AB 上,OD 平 分∠AOB,作射线OE,OF, 使得∠AOF＝２∠DOE． 明方法　利用方程思想和分类讨论思 想解答． 解 因为点 O 在直线AB 上,OD 平分 ∠AOB, 所