第01讲 初中知识点回顾之因式分解-2023年初升高数学暑假预习考点方法题型总结（人教A版2019）

第1讲 初中知识点回顾之因式分解 考点一：完全平方公式，平方差公式 解题思路：①完全平方公式：， ②， ③平方差公式： 【精选例题】 【例1】把多项式 因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】因式分解：(1)；(2)；(3)；(4). 【例4】已知，求下列各式的值． (1)；(2)． 【例5】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题． (1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数； (2)分解因式：； (3)已知实数，满足，求的最小值． 【例6】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【例7】已知，为实数，满足，则的值为 _______． 【跟踪练习】 1．下列因式分解正确的是（ ） A．B．C．D． 2．已知，mn=12，则的值为（   ） A．-84 B．84 C． D．300 3．已知，，则的结果为（   ） A． B． C． D． 4.已知：，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 5.阅读下列材料： 材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，. 材料2：已知实数，满足，，且，求的值. 解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根 根据材料1，得， ∴，. ∴ 根据上述材料，解答下列问题： (1)若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，分别满足，，且，求的值. 6.利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题． 解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值． 考点二：立方差，立方和公式 解题思路：立方差公式：，立方和公式： 【例1】由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识解决下列问题 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，其中． 【例3】因式分解：（直接写结果） （1）= ； （2）= ． 【例4】多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下： 立方和公式： 立方差公式： 如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式. 根据以上材料，请完成下列问题： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）已知：的值 【跟踪练习】 1．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． (1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）； (2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值． 2.学习了平方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子： ①化简：______； ②计算：______； (2)【公式运用】已知：，求的值． 3.阅读理解题： 拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 公式：