第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习课-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫

一、不等式及其性质 1．不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养． 例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 答案　B 解析　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2) ＝2＋b2≥0， ∴A≥B. (2)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y 答案　C 解析　当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y， 故|a|x≥|a|y. 反思感悟　不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法． (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法． 跟踪训练1　若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________________． 答案　{a－b|－1≤a－b≤6} 解析　∵－1≤b≤2， ∴－2≤－b≤1， 又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6. 二、利用基本不等式求最值 1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例2　(1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是(　　) A．2 B. C．1 D. 答案　C 解析　因为0<x<2， 所以2－x>0，x(2－x)≤2＝1， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立． 所以x(2－x)的最大值为1. (2)若x>0，则x＋－的最小值是____________________________________________． 答案　0 解析　x＋－＝x＋＋－2≥0， 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立， 故x＋－的最小值是0. 反思感悟　基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”、“二定”、“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． 跟踪训练2　已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝________；b＝________. 答案　2　1 解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5， 因为x>－1，所以x＋1>0， 所以y≥2－5＝2×3－5＝1， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立， 此时a＝2，b＝1. 三、一元二次不等式的解法 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例3　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 解　(1)依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a<0. 由根与系数的关系，得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3， 即－3>0， 整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}． 反思感悟　(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根． 跟踪训练3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1； ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1； ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0. 若＝1，即a＝1时，不等式无解； 若<1，即a>1时，解得<x<1； 若>1，即0<a<1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 四、不等式恒成立问题 1．熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，