第二章 习题课 基本不等式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

习题课　基本不等式 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 一、巧用“1”的代换求最值问题 例1　若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　∵＋＝1，x＞0，y＞0， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝即x＝4，y＝12时，等号成立． 即x＋y的最小值为16. 延伸探究　已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求t＝＋的最小值． 解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1， 所以t＝＋＝(a＋2b) ＝＋＝1＋＋＋2 ≥3＋2 ＝3＋2. 当且仅当即时等号成立，故t的最小值为3＋2. 反思感悟　常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 跟踪训练1　已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值． 解　因为x>0，y>0，x＋8y＝xy， 所以＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时等号成立． 所以x＋2y的最小值为18. 二、分离消元法求最值 例2　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 解　由题意可知y＝， 所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 所以xy的最小值为9. 反思感悟　含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 跟踪训练2　已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 答案　5＋2 解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2. 三、利用基本不等式证明不等式 例3　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 延伸探究　本例的条件不变，求证：＋＋≥9. 证明　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②巧用“1”的代换证明不等式； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 跟踪训练3　已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2. 证明　由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝， 由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2. 1．知识清单： (1)巧用“1”的代换求最值问题． (2)分离消元法求最值． (3)利用基本不等式证明不等式． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误． 1．已知0<a<1,0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 答案　D 解析　∵0<a<1,0<b<1，∴a2<a，b2<b， ∴a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(a≠b)， ∴2ab<a2＋b2<a＋b. 又∵a＋b>2(a≠b)，∴a＋b最大． 2．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a>>>b B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>. 又∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. 3．已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝