第二章 习题课 不等式恒成立、能成立问题-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青

习题课　不等式恒成立、能成立问题 学习目标　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题． 一、在R上的恒成立问题 例1　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意点： 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1　若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意； 当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0， 综上，实数k的取值范围是－≤k≤0. 二、在给定范围内恒成立的问题 例2　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}． 反思感悟　在给定范围内的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 跟踪训练2　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 答案　B 解析　因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 三、解决简单的能成立问题 例3　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________________． 答案　{m|m>－5} 解析　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. 反思感悟　(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 跟踪训练3　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}． 1．知识清单： (1)在R上的恒成立问题． (2)给定范围内的恒成立问题． (3)解决简单的能成立问题． 2．方法归纳：等价转换法，数形结合法． 3．常见误区：要注意端点值的取舍． 1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 答案　D 解析　不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2. 2．对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．0<m≤2 C．0≤m≤2 D．0≤m≤4 答案　C 解析　令y＝， 当m＝0时，函数y＝，符合题意； 当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立， 则即解得0<m≤2， 综上，实数m的取值范围是0≤m≤2. 3．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 答案　D 解析　因为1≤x≤2，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1. 4．定义运算＝ad－bc，则不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ______________________. 答案　－4<a≤0 解析　原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意，当a≠