2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂

第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标　1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 导语 同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦九韶等，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌．既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了．实际上，对于求解一元二次方程方法有很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法． 一、一元二次不等式的定义及解法 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m. 由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}． 整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0<x<12}．① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 例1　分解下列因式： (1)x2＋4x＋3； (2)5x2－6x＋1； (3)m2＋2mn－3n2； (4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0)． 解　(1)x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)． (2)5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1)． (3)m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n)． (4)ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0)． 反思感悟　(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘． (2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止． 跟踪训练1　因式分解：x2＋3x－10＝_________________________. 答案　(x＋5)(x－2) 解析　 x2＋3x－10＝(x＋5)(x－2)． 二、一元二次不等式的解法 问题2　如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根． 知识梳理 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 注意点： 零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标． 问题3　你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？ 提示　从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2<x<10}． 知识梳理 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 例2　(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3) 方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．