2.5.1 圆的标准方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第2章　平面解析几何初步　　　　　　　 1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离d 是 ( ) A.322 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 2 2.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1, 则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.± 2 3.两平行直线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y- 10=0之间的距离为 . 4.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2: 2x-y-1=0平行且距离相等,则l的方程为 . 5.两平行直线l1,l2 分别过P1(1,0),P2(0,5) 两点,若l1 与l2 的距离为5,求两直线方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.5 圆的方程 2.5.1 圆的标准方程 [课标解读]回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. [素养目标]水平一:1.结合教材实例会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程.（数学运算）2.会求圆的标 准方程.（数学运算） 水平二:能利用圆的标准方程解决相关的问题.（数学运算、逻辑推理） 圆的标准方程 1.圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程为 . 2.圆心在原点(0,0),半径为r的圆的方程为 . 一、答一答 1.已知圆心坐标和半径,圆的标准方程是按怎 样的步骤推导的? 2.若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=c2,则此 圆的半径一定等于c吗? 3.确定点与圆的位置关系的关键是什么? 二、练一练 1.已知圆(x+1)2+y2=2,则其圆心和半径分 别为 ( ) A.(1,0),2 B.(-1,0),2 C.(1,0),2 D.(-1,0),2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 063 2.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为 ( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内 部,则实数a的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求圆的标准方程 ● 命题视角1:直接法求圆的标准方程 [例1] 求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆 心在直线x+y-2=0上的圆的方程. 学生试答: 　　 求圆的标准方程时常用的几何性质 (1)圆的弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆的任意两条弦的垂直平分线的交点必为 圆心. (3)圆心与切点的连线长为半径. (4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线. (5)圆的半径r,半弦长d,弦心距h满足r2=d2+ h2. 变式训练1 求下列圆的标准方程: (1)经过点(6,3),圆心为(2,-2); (2)圆心在直线y =-2x 上,且与直线 y=-x+1相切于点(2,-1). ● 命题视角2:待定系数法求圆的标准方程 [例2] 求经过点P(1,1)和坐标原点,并 且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程. 学生试答: 　　1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半 径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出 圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 设方程 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2 =r2 (r>0) → 列方程组 ↓ 由已知条件，建立关于a,b,r的方程组→ 解方程组 ↓ 解方程组，求出a,b,r→ 得方程 ↓ 将a,b,r代入所设方程，得所求圆的方程→ 变式训练2 已知 △ABC 的三个顶点分 别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),则它的外接 圆的标准方程为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 点与圆的位置关系 [例3] 若圆C 的圆心坐标为(2,-3),且 圆C 经过点M(5,-7),求其标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系. 学生试答: 􀪋