2.2.4 直线的方向向量与法向量(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第2章　平面解析几何初步　　　　　　　 1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应 满足的条件为 ( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A·B ≠0 D.A2+B2≠0 2.已知直线y=k(x-2)+3必过定点,则该定 点的坐标为 ( ) A.(-2,3) B.(2,-3) C.(-2,-3) D.(2,3) 3.直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的 截距分别为 ( ) A.43 ,5 3 B.- 4 3 ,- 5 3 C.- 3 4 ,- 5 4 D. 3 4 ,5 4 4.若直线(k+1)x-y-3=0的倾斜角为135°, 则k= . 5.求证:当a∈R时,直线ax+y+a+2=0必 过定点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2.4 直线的方向向量与法向量 [课标解读]1.在平面直角坐标系中，结合具体实例，探求直线的方向向量和法向量.2.掌握利用向量求直线方程. [素养目标]水平一:了解直线的方向向量与法向量的概念.（数学抽象） 水平二:掌握利用向量法求直线方程.（数学运算） 直线的方向向量 1.我们把与直线l 的非零向量v都 称为l的方向向量. 2.直线l的方向向量v并不唯一,v的所有的 非零实数倍λv都是方向向量. 3.所有的方向向量都与l . 4.斜率为k的直线的方向向量为 的非零实数倍. 直线的向量式方程 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 直线的法向量 1.与直线l垂直的非零向量n=(A,B)称为 直线l的法向量. 2.直线的一般式方程Ax+By+C=0的一 次项系数组成的向量 是直线的法向量. 一、答一答 1.对直线的方向向量的认识. 2.直线的一般式方程与直线的方向向量的关系 是怎样的? 二、练一练 1.经过点P(0,1),Q(2,1)的直线的方向向量为 . 2.经过点(1,2),方向向量为(2,3)的直线方程 为 . 3.经过点(1,1),法向量为(1,1)的直线方程为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 053 直线的方向向量、法向量 [例1] 已知A(m,-m+3),B(2,m-1), C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3 倍,则直线AB 的一个方向向量为 . 学生试答: 　　 直线的方向向量的求法 求直线AB 的方向向量，就是找与AB→ 平行的任 意非零向量，因此可以在直线AB 上任取不同的两 点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB 的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取 不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也 是直线AB 的方向向量. 变式训练1 (1)若直线的法向量a = (-4,2),则直线的方向向量不可能是 ( ) A.(-2,4) B.(1,2) C.(3,6) D.(-1,-2) (2)若直线的方向向量a=(0,-2 022),则 直线的倾斜角为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由直线的方向向量、法向量求方程 [例2] (1)如果直线l经过点P(2,2),且 直线l的法向量为a=(-3,2),求直线l的方程. (2)如果直线l经过点P(2,2),且直线l的 方向向量为a=(-3,2),求直线l的方程. 学生试答: 　　 直线Ax+By+C=0(A2+B2 ≠0)的方向向 量可设为(B,-A)或(-B,A)，法向量可设为(A,B). 变式训练2 求法向量为v=(4,3),且与 两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知直线l的方向向量为(1,5),则直线l的法 向量为 ( ) A.(5,1) B.(-1,5) C.(5,-1) D.(-5,-1) 2.已知直线l的倾斜角为80°,则直线l的一个方 向向量的坐标为 ( ) A.(1,tan 80°) B.(1,si