2.2圆的对称性(第2课时)（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（苏科版）

第2章 · 对称图形——圆 2.2　圆的对称性 第2课时　圆的轴对称性 1 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导； 2．能利用垂径定理进行相关的计算和证明. 学习目标 操作·思考 1.如图，剪一个圆形纸片，折叠使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？ O 折痕过圆心 操作·思考 O 2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？ 折叠法 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．　 注意：直径不是圆的对称轴， 直径所在的直线才是圆的对称轴． 圆有无数条对称轴. 操作·思考 3.现有一张未标明圆心位置的圆形纸片，如何找到它的圆心？动手试一试！ O 叠合法： 沿直径AB将图中翻折，因为圆是轴对称 图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴， 所以重合.又因为∠APD=∠APC=90°, 所以射线PD与射线PC重合，于是点D与点C重合. 所以 操作·思考 O C D P A B 4.如图， 画⊙O的直径AB，作CD⊥AB，垂足为P，猜想在所画图中有哪些相等的线段和相等的弧? 你能证明你的猜想吗？ CP=DP， ＝ ＝ 操作·思考 4.如图， 画⊙O的直径AB，使AB⊥CD，垂足为P，猜想在所画图中有哪些相等的线段和相等的弧? 你能证明你的猜想吗？ O C D P A B 证明：连接OC、OD. 在△OCD中， ∵OC=OD，OP⊥CD， ∴PC=PD， ∠BOC=∠BOD. ∴∠AOC=∠AOD. ∴ ＝ (同圆中，相等的圆心角所对的弧相等). 新知归纳 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. · O C D A B P ∟ 直径 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 条件 结论 ①AB是⊙O的直径， ②AB⊥CD于点P 可推得 ③CP＝DP， ④＝， ⑤ . 垂径定理 ① ② ③ ④ ⑤ 新知巩固 1.判断： 垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条( ).  C D A B E • o 直径 2.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由. 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 新知巩固 例1 如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径. 例题讲解 E O A B ? 3cm 8cm 解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA. 在Rt△OEA中， 由勾股定理，得 即 解得 OA=5cm. 因此，⊙O的半径为5cm. ∵OE⊥AB，AB=8cm， ∴cm(垂直于弦的直径平分弦) 新知巩固 变式1 如图, OE⊥AB于E, ⊙O的半径为5cm, OE=3cm, 求AB的长. · O A B E 解：连接OA. ∵ OE⊥AB， ∴∠OEA=90°. 在中， ∵ OE⊥AB， ∴AB=2AE=8cm (垂直于弦的直径平分弦). 变式2 在⊙O中，弦ABCD于P，CD为直径，若AB8， DP2，则⊙O的半径为 . 新知巩固 P C O A B D r 2 4 r2 5 解：连接OB．设OB= r，则OP = r-2. 在Rt△OPB中，由勾股定理，得 OP2BP2OB2 (r2)242r2 ∵ OP⊥AB， ∴BP= AB=4cm (垂直于弦的直径平分弦). r5 新知巩固 变式3 ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动. ①线段OP的长的最小值为___，最大值为___. ②OP的取值范围是___________. O A B C 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则OC为点O到AB的距离.连接OA， ∵OC⊥AB, ∴AC= AB=4 (垂直于弦的直径平分弦). 在Rt△AOC中， 由勾股定理得： P 3 5 3≤OP≤5 例题讲解 例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？ . A C D B O 你还能想到其他的证明方法吗？ └ P 提示：连接OA，OB，OC，OD． 过点O作OP⊥AB于点P， 根据等腰三角形的性质． 例题讲解 例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？ . A C D B O 解：AC与BD相等. 过点O作OP⊥AB，垂足为P. ∴AP＝BP，CP＝DP (垂直于弦的直径平分弦.) ∴ AP－CP＝BP－DP 即AC＝BD P └ 变式 如图, AB、CD是⊙O的两条弦, AB∥CD, 有什么关系？ 新知巩固 .